Hay implícita una pregunta acerca de la convergencia de las sumas, que esta respuesta no la dirección.
Si $\sum_{n=1}^\infty x_n$ converge en la norma del espacio de Hilbert $H$, entonces para cualquier $y \in H$, $\sum_{n=1}^\infty \langle x_n, y \rangle$ converge en el campo base ($\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$), y
$$\langle \sum_{n=1}^\infty x_n , y \rangle = \sum_{n=1}^\infty \langle x_n, y \rangle.$$ As mentioned, this is because the inner product is linear and continuous with respect to the $H$ norma topología (esencialmente, por Cauchy-Schwarz).
Sin embargo, si la suma en el lado derecho converge para algunos $y \in H$, o incluso para todos los $y \in H$, lo hace no seguir ese $\sum_{n=1}^\infty x_n$ converge en $H$, de modo que el lado izquierdo puede ser sin sentido. Por ejemplo, vamos a $\{e_i\}_{i=1}^\infty$ ser un ortonormales conjunto en $H$ (suponiendo que es infinito dimensional). Deje $x_1 = e_1$, e $x_n = e_n - e_{n-1}$ para $n \ge 2$. A continuación, $\sum_{n=1}^\infty x_n = \lim_{i \to \infty} e_i$ no converge en norma. Sin embargo, $\sum_{n=1}^\infty \langle x_n, y \rangle = \lim_{i \to \infty} \langle e_i, y \rangle = 0$ para todos los $y$, por la desigualdad de Bessel.
Efectivamente, tener el lado derecho convergen para todos los $y$ sólo implica que $\sum_{n=1}^\infty x_n$ converge en la topología débil.
