El polinomio cuaternario $$ 1728(x - 3) - x^2(12^2 - x^2) $$ factores "bien" como $$ (x^2 - 12x + 72) (x^2 + 12x - 72) = (x^2 - 12x + 72)(x - 6\sqrt{3} + 6)(x + 6\sqrt{3} + 6) \, . $$
(Tenga en cuenta que $1728 = 3(24^2)$ .) ¿Cómo se obtiene esta factorización?
Otro miembro ofreció una explicación. Creo que utilizó la factorización del polinomio cuártico dado en un producto de dos polinomios cuadráticos que proporcioné en el post. Cuando le pregunté cómo conseguiría esa factorización, dijo que había que comparar los coeficientes del producto (x^{2} + ax + b)(x^{2} + cx + d) con los coeficientes del polinomio cuático dado. ¿Permitiría eso $a$ , $b$ , $c$ y $d$ para ser evaluado?
@AgalnamedDesire Would that allow a, b, c, and d to be evaluated Sí, su comentario utiliza el método de los coeficientes indeterminados, y las ecuaciones que has escrito son correctas. El siguiente paso es eliminar $b,d$ entre las tres ecuaciones restantes, lo que da una cúbica en $a^2$ a saber: $a^6 - 2\cdot 12^2 a^4+2 \cdot 12^4 a^2 - 12^6=0\,$ con la raíz (algo) obvia $a^2=12^2$ es decir $a=\pm 12$ .
Si no hubiera proporcionado la factorización en el post y si sólo hubiera dado el polinomio cuártico $1728(x - 3) - x^2(12^2 - x^2)$ para que se le tome en cuenta, ¿qué haría usted?
Lo multiplicaría, luego buscaría las raíces racionales utilizando la prueba de la raíz racional, y luego escribiría mi polinomio como $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ y comparar los coeficientes, ¡y obtener un resultado positivo!
Si usted está diciendo que $x^{4} - 12^{2}x^{2} + 12^{3}x - 3(12^{3}) = (x^{2} + ax + b)(x^{2} + cx + d)$ , ...
Esta solución fue sugerida por dxiv.
Solución
El polinomio cuártico dado es un producto de dos polinomios cuadráticos mónicos: \begin{equation*} x^{4} - 144x^{2} + 1728x - 5184 = (x^{2} + ax + b)(x^{2} + cx + d) ; \end{equation*} \begin{equation*} (x^{2} + ax + b)(x^{2} + cx + d) = x^{4} + (a + c)x^{3} + (ac + b + d)x^{2} + (ad + bc)x + bd . \end{equation*} Desde $c = -a$ , \begin{equation*} d - b = \dfrac{12^{3}}{a} \qquad \text{and} \qquad b + d = a^{2} - 12^{2} . \end{equation*} Así que, \begin{equation*} b = \frac{1}{2a} \Bigl(-12^{3} - 12^{2}a + a^{3} \Bigr) \qquad \text{and} \qquad d = \frac{1}{2a} \Bigl( 12^{3} - 12^{2}a + a^{3} \Bigr) . \end{equation*} Además, como $bd = -5184 = -3(12^{3})$ y \begin{equation*} bd = \frac{1}{4a^{2}} \Bigl(a^{6} - 2(12^{2}) a^{4} + 12^{4} a^{2} - 12^{6}\Bigr) , \end{equation*} \begin{equation*} a^{6} - 2(12^{2}) a^{4} + 2(12^{4}) a^{2} - 12^{6} = 0 . \end{equation*} $\pm12$ son raíces de esta ecuación polinómica en la variable $a$ . Si $a = 12$ , $b = -72$ , $c = -12$ y $d = 72$ ; si $a = -12$ , $b = 72$ , $c = 12$ y $d = -72$ . En cualquier caso, \begin{align*} &x^{4} - 144x^{2} + 1728x - 5184 \\ &\qquad = (x^{2} + 12x - 72)(x^{2} - 12x + 72) \\ &\qquad = \bigl(x - 6\sqrt{3} + 6\bigr)\bigl(x + 6\sqrt{3} + 6\bigr)(x^{2} - 12x + 72) . \end{align*}
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