¿Existe una relación entre la teoría modelo y teoría de la categoría?

Question

Según Chang y Keisler del "Modelo de la Teoría", Modelo de la Teoría de la = Álgebra Universal + Lógica. Modelo de la teoría generalizada de Álgebra Universal en el sentido de que nos permiten relación, mientras que en Álgebra Universal sólo nos permiten función.

También, sabemos que la Categoría de la Teoría generalizada de Álgebra Universal. De la wikipedia:

Blockquote Dada una lista de las operaciones y de los axiomas en álgebra universal, la correspondiente álgebras y homomorphisms son los objetos y morfismos de una categoría. Categoría de la teoría se aplica a muchas situaciones donde álgebra universal no, extendiendo el alcance de los teoremas. Por el contrario, muchos de los teoremas que se mantenga en álgebra universal no generalizar a todos el camino a la categoría de teoría.

Así que esta sugieren que puede haber cierta superposición entre el Modelo de la Teoría y la Categoría de Teoría. Espero que algunos se pueden elaborar sobre la relación (si la hay)?

Answer 1

Categórica lógica es definitivamente un lugar para buscar. Aunque en mi muy limitada experiencia del modelo de la teoría parece estar más interesado en los modelos construidos de conjuntos, mientras que la lógica categórica es generalmente interesados principalmente en los modelos en categorías más generales.

Otro lugar para buscar es la teoría de local presentable y accesible categorías, que son las categorías de los modelos (en Conjunto) de una gran clase de teorías. Un número de modelo de la teoría de la ideas y técnicas que surgen en su estudio, y de lo contrario podría ser cierto también. Los libros son:

• Adámek y Rosicky, Localmente presentable y accesible categorías
• Makkai y Paré, Accesible categorías: las bases de la categórica del modelo de la teoría de la

(Makkai y Paré sin duda pensaba que había una relación!)

Answer 2

Otro enlace que lo explica, por Charles Stewart es la relación con acceso a las categorías. Esto fue propuesto por Michael Makkai y Bob Paré como una categoría teórica de la fundación para el modelo de la teoría (Accesible categorías: las bases de la modelo categorial de la teoría, de la Matemática Contemporánea 104, AMS, 1989). He encontrado este enfoque particularmente convincente.

La idea básica es pensar en el de los modelos de una teoría completa como la formación de una categoría con primaria incrustaciones como morfismos. El hecho de que este es un accesibles categoría es básicamente el Löwenheim-Skolem Teorema. Me gusta el hecho de que este punto de vista no está limitado por la lógica de primer orden. Por ejemplo, se aplica a infinitary lógicas y Abstractas Clases de Primaria así como así.

Otra conexión que viene a pesar de que la clasificación de topoi (ver Mac Lane Y de Moerdijk, Poleas en la Geometría y la Lógica, Capítulo X). También hay fuertes lazos con el Resumen de Piedra de la Dualidad (todavía estoy tratando de ponerme al día, así que no puedo decir mucho más).

Answer 3

Ciertamente lo es. El año pasado hubo un largeish conferencia en Durham, Nuevas Direcciones en el Modelo de la Teoría de Campos, que tenía las conexiones entre el modelo de la teoría y la categoría de la teoría como su "segundo tema".

Tal vez el hablar más relevantes a su pregunta, fue la de Martín Hyland, Categórica del Modelo de la Teoría. Puedes ver un vídeo en la web, pero por desgracia parece para empezar la parte del camino a través de la charla. De todos modos, ha comenzado diciendo que todo lo que iba a explicar que era conocida en 1982, que fue, quizá, una referencia a Makkai-Pare (como se ha mencionado por Mike Shulman y F. G. Dorais) y que era.

Un distinguido, pero no categórica, lógico que parece firme apoyo a la categórica del modelo de la teoría es Angus Macintyre. He aquí su introducción al Modelo de la teoría: geométrico y el conjunto teórico de los aspectos y perspectivas", Boletín de la Lógica Simbólica 9 (2003):

Puedo ver el modelo de la teoría como cada vez más separada de la teoría de conjuntos, y el Tarskian noción de conjunto de la teoría de la modelo ha dejado de ser central en el modelo de la teoría. En gran parte de la matemática moderna, el conjunto de la teoría de la componente de menor interés, y nociones básicas son geométricos o categoría de teoría. En la geometría algebraica, esquemas o algebraicas, espacios son los conceptos básicos, con la edad "de los conjuntos de puntos en affined o proyectiva del espacio" no es más que restrictiva casos especiales. Las nociones básicas puede ser dado gavilla-teóricamente, o functorially. Para entender en profundidad la importancia histórica afín casos, uno de los que mejor hace trabajar con más esquemas generales. La consiguiente relativización y de "transferencia de la estructura" es incomparablemente más potente y flexible, entonces nada se sabe todavía en el "conjunto teórico del modelo de la teoría".

A mí me parece que ahora no conflictivo para ver la estructura fina de las definiciones como la de convertirse en la preocupación central de los modelos de la teoría, en la medida en que uno puede imaginar fácilmente el tema se llama "Definability Teoría" en el futuro cercano.

Answer 4

Tuvimos una charla sobre este tema por aquí, por palabras de David Kazhdan.

Answer 5

Entre el modelo de la teoría y la categoría de la teoría de la concepción amplia: no es nada realmente convincente, debido a una categoría, por su propia cuenta, no de pie como una interpretación para nada.

Entre el modelo de la teoría y la lógica categórica, sin embargo: sí, creo que la superposición es grande.

Un punto de la historia: el hombre que más se lo merece, en mi opinión, de ser llamado el padre de la modelo de la teoría de Alfred Tarski, que provenía de una escuela polaca de la lógica que, entiendo, fue muy dentro de la expresión algebraica de la escuela. Su modelo de teoría estaba más en la vena de una reelaboración de el polaco-estilo de la lógica algebraica (esto no es, en anway, para hablar de sus logros).

Blackburn &al (2001, pp40-41) hablar de una que podría haber sido para el Jónsson-Tarski representación teorema:

...mientras modal álgebras fueron herramientas útiles, que parecía de poca ayuda en la orientación de lógica intuiciones. [Teorema] han arrastrado a esta aparente deficiencia de distancia para el bien, para, en esencia, que mostró cómo representar modal álgebras de las estructuras que ahora llamamos modelos! De hecho, se hizo mucho más que esto. Su representación técnica es esencialmente un modelo de la técnica de la edificación, por lo que su trabajo le dio a los instrumentos técnicos necesarios para probar la integridad resultado que dominó [trabajo en lógica modal antes de Kripke].

Ellos van a presentar una bonita anécdota que muestra cómo Tarski no parece creer que este algebraicas enfoque proporciona una semántica para la lógica modal, incluso después de Kripke destacó lo importante que fue para la semántica de Kripke. Parece que a veces la lógica algebraica y el modelo de la teoría son más similares de lo que parece.

Como modelo de la teoría, categórica que la lógica puede parecer una manera especial de hacer lógica algebraica. Y con algunas teorías, el modelo de la teoría y la lógica algebraica a veces parece que se diferencian sólo en la trivialidad; con lógica categórica estoy más indeciso en hacer el barrido de las sentencias, pero a veces se siente de esa manera a mí también.

Ref: Blackburn, de Rijke, & Venema (2001) Lógica Modal, la COPA.