Digamos que me pagan 1 millón de dólares por pip en un dado de seis caras y lanzo los dados una vez. Ahora compare esto con un juego en el que obtengo 1 dólar por pepino en un dado, pero lanzo el dado un millón de veces. Me parece intuitivo que una persona con aversión al riesgo escogiera el segundo juego, pero ¿no agregan las variaciones porque las tiradas del dado son independientes, lo que lleva a la misma variación que en el primer juego? ¿Por qué hay una diferencia en la varianza?
Respuestas
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La desviación estándar de la primera es$$ \sqrt{\frac{35}{12}} 10^6.$$ The standard deviation of the second is $$ \sqrt{\frac{35}{12}} 10^3.$ $ Las variaciones se agregan, no las desviaciones estándar, y la varianza de un múltiplo constante de una variable aleatoria es el múltiplo cuadrado constante de la varianza de La variable aleatoria original.
Su intuición es correcta: es más probable que termine cerca de$3.5$ millones en el segundo caso y menos probabilidades de obtener$1$ millones o$6$ millones.
Graham Kemp
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Deje $(X_k)_{k\in\{0,1...1000\}}$ ser una secuencia de resultados para $1001$ independiente morir rollos.
La varianza de la primera apuesta es: $\mathsf {Var}(1000 X_0) ~{= 10^6\mathsf {Var}(X_0)\\ = 10^6(6^2-1)/12}$
La varianza para la segunda apuesta es: $\mathsf {Var}(\sum_{k=1}^{1000} X_k) ~{= \sum_{k=1}^{1000}\mathsf {Var}(X_k) \\= 10^3 \mathsf {Var}(X_1) \\ = 10^3(6^2-1)/12 }$
El primero es la varianza de la suma de 1000 dependiente de variables aleatorias (de hecho exactamente la misma variable), mientras que el segundo es la suma de 1000 independientes e idénticamente distribuidas variables aleatorias.
La varianza no es aditivo; la covarianza de hecho es bilinearly aditivo. Considere el caso simple de dos variables aleatorias. Bilinearity de covarianza significa que:
$$\mathsf {Var}(A+B)~{= \mathsf {Cov}(A+B,A+B) \\ = \mathsf {Cov}(A,A)+\mathsf {Cov}(A,B)+\mathsf {Cov}(B,A)+\mathsf {Cov}(B,B) \\ = \mathsf {Var}(A)+2\mathsf {Cov}(A,B)+\mathsf {Var}(B)}$$
Así, en el estilo de juego 1, estas dos variables aleatorias son en realidad la misma variable:
$$\mathsf {Var}(2X_0) ~{=~\mathsf {Cov}(X_0+X_0,X_0+X_0) \\ = \mathsf {Var}(X_0)+2\mathsf {Cov}(X_0,X_0)+\mathsf {Var}(X_0) \\ = 4 \mathsf{Var}(X_0)} $$
Sin embargo, en el estilo de juego 2, ambas variables aleatorias son meramente idénticamente distribuidas, sino que son independientes. La independencia implica que las distintas variables son uncorrolated.
$$\mathsf {Var}(X_1+X_2) ~{=~\mathsf {Cov}(X_1+X_2,X_1+X_2) \\ = \mathsf {Var}(X_1)+2\mathsf {Cov}(X_1,X_2)+\mathsf {Var}(X_2) \\ = \mathsf{Var}(X_1)+\mathsf{Var}(X_2) \\ = 2\mathsf {Var}(X_1) }$$
En términos intuitivos: Multiplicando el resultado de la tirada de un dado por un gran número va a magnificar el efecto de que el único resultado. Donde el cummulated resultados de una multitud de morir rollos se van a grupo el resultado más apretado alrededor de la media.
