¿Cuál es la forma cerrada de la integral gaussiana?

Question

Una vez encontré que la integral debajo de $$ \, {\ rm I} \ left (\, \ alpha \, \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, {\ rm e} ^ { - \ left (\, x ^ {2} \, \, + \ \ alpha \, x ^ {4} \, \ right)} \, \, \, {\ rm d} x \ ,, \ qquad \ left (\, \ alpha> 0 \, \ right) $$ tiene una forma cerrada, pero ahora no sé el resultado exacto. Por favor, proporcione algunas referencias o continúe con el cálculo aquí. Gracias !.

Answer 1

De acuerdo con un CAS, siempre que aparezca$\Re(\alpha )>0$,$$I(\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+\alpha x^4)}dx=\frac{e^{\frac{1}{8 \alpha }}}{2 \sqrt{\alpha }}K_{\frac{1}{4}}\left(\frac{1}{8 \alpha }\right)$ $ donde aparezca la función Bessel modificada del segundo tipo.

Para los valores de$\alpha$ cerca de$0$,$$I(\alpha)\approx \frac{1}{4} \sqrt{\pi } (4-3 \alpha )$ $