Si$z\mapsto f(z)^n$ es analítico, entonces$f$ es analítico

Question

Deje $U$ ser un conjunto conectado en $\Bbb C$ e $f:U\to \Bbb C$ ser un mapa continuo tal que $z\mapsto f(z)^n$ es analítica para algún entero positivo $n$. Demostrar que $f$ es analítica.

Creo que la afirmación es FALSA. Considere la función $f(z)=\sqrt z$ en conjunto conectado $U\subset \mathbb C$ contiene $0$. A continuación, $f$ es continua y $f(z)^2$ es analítico , sino $f$ no es analítica.

Mi argumento es correcto o hay algún malentendido ?

Si la afirmación es VERDADERA, entonces ¿cómo puedo proceder para demostrarlo ?

Answer 1

Cerca de los puntos de $z_0$ con $f(z_0)\ne 0$, $f$ es una composición de holomorphic funciones, a saber, $f =\root n\of{f^n}$ donde $\root n\of\cdot$ es de alguna rama (¿qué rama?) de la $n$-ésima raíz.

Y los puntos de con $f(z_0) = 0$? Como los ceros de holomorphic funciones están aislados, $f$ será holomorphic en un perforada nhood de $z_0$. Pero como $f$ es continua en $z_0$, entonces también será holomorphic en $z_0$ (véase el del teorema de Riemann extraíbles singularidades).