El límite a.e. de una secuencia de funciones medibles es medible

Question

Tengo problemas para mostrar lo siguiente:

Si $f_n$ es una secuencia de funciones medibles tal que $f_n$ converge a $f$ casi en todas partes, entonces $f$ es medible.

Estaba pensando en usar $\limsup$ ya que sé que $\limsup f_n$ es medible. Pero ahora no estoy seguro de cómo continuar mi argumento.

Answer 1

En base a tu comentario, parece que tienes controlado el argumento. Un limsup de una secuencia de funciones medibles es un inf de una secuencia de funciones cada una de las cuales es un sup de una secuencia de funciones medibles, por lo que se reduce a mostrar que tanto los infs como los sups de secuencias de funciones medibles son medibles. Suponiendo que se trabaja con una medida completa, no importa lo que ocurra en el conjunto de medida cero donde $(f_n)$ no converge a $f$ .

Sólo por diversión, aquí hay otra forma de pensar en esto, asumiendo que las funciones están todas definidas en $[0,1]$ con medida de Lebesgue. Por el teorema de Egoroff, de un conjunto $A$ de medida arbitraria, $f_n\to f$ uniformemente. Por el teorema de Lusin, de un conjunto $B$ de medida arbitrariamente pequeña cada $f_n$ es continua (se puede aplicar Lusin a cada función con conjuntos excepcionales progresivamente más pequeños y tomar $B$ para ser la unión de estos conjuntos). Fuera de $A\cup B$ , $f$ es un límite uniforme de una secuencia de funciones continuas, por lo tanto, continua. Como surgió en otra pregunta una función que es continua a partir de conjuntos de medida arbitrariamente pequeña es medible.

Answer 2

No siempre es cierto. Véase el ejercicio V, capítulo 3, del libro de Bartle.