En la aritmética modular, ¿podría representarse como un número entero?

Question

Si tengo un campo de todos los números reales en $[0,p) (\mod p)$ bajo una suma y multiplicación normal donde $p$ es un número primo, se puede demostrar que todos los enteros tienen inversos multiplicativos que también son enteros. Esto significa que todos los números racionales tienen equivalentes enteros, por ejemplo $$ 3\times2 1\mod5$$ Por lo tanto, $2$ es la inversa multiplicativa de $3$ en $\mod 5$ . Esto significa que $\frac13 2 \mod 5$ . Luego traté de extender esta lógica a los números irracionales.

Como ejemplo, tomé $\pi$ . Podemos representar $\pi$ por la serie infinita $$\frac{3}{1}+\frac{1}{10}+\frac{4}{100}+\frac{1}{1000}...$$ Está claro que esta representación no funcionaría para $\mod 5$ porque se estaría dividiendo por $0$ . Sin embargo, en $\mod 3$ y en $\mod 9$ esta fracción puede reducirse a $$\frac{3}{1}+\frac{1}{1}+\frac{4}{1}+\frac{1}{1}... = 3+1+4+1...$$ Aquí es donde estoy atascado. Como estamos sumando una lista infinita de enteros, parecería que la suma debería ser un entero. Sin embargo, a medida que la serie se hace más y más larga, es evidente que sólo hace un ciclo a través de todos los enteros y nunca se acerca a una respuesta definitiva. Entonces, ¿es $\pi$ equivalente a todos los enteros a la vez, o los números irracionales no tienen equivalentes integrales en la aritmética modular? ¿Tiene mi lógica algún fallo fatal que pueda explicar mis resultados?

Answer 1

Básicamente tu pregunta se reduce a "¿qué es una suma infinita en aritmética modular?". Esta cuestión es una cuestión de convergencia. Básicamente, para hablar de sumas infinitas, se necesita alguna noción de lo que significa converger. Esto se llama topología. Ahora bien, si estás en el instituto, la topología es un poco avanzada para ti, así que no te preocupes.

La forma más fácil de hablar de topología/convergencia es en términos de métrica . Una métrica es una noción de distancia. Por ejemplo, la métrica estándar en $\Bbb{R}$ es $d(x,y)=|x-y|$ . Por ejemplo $d(0,4)=4$ . Entonces, ¿qué métrica quiere utilizar en $\Bbb{Z}/5$ por ejemplo? Si se utiliza la misma, la convergencia es bastante aburrida, ya que sólo convergen (eventualmente) las cosas constantes. ¡No hay manera de "acercarse" a un número! Lo más cerca que pueden estar los números es $1$ o $0$ si son los mismos. Para hablar de convergencia en aritmética modular, hay que cocinar una topología/métrica no trivial. Esto no es tan fácil.

Qué $\pi^{-1}$ es, o si siquiera existe, depende de su topología. Que yo sepa, no existe una topología natural/canónica en la aritmética modular. Si la hay, es demasiado avanzada.

Por cierto, es una pregunta interesante. Si estás pensando en estas cosas en la escuela secundaria estoy impresionado y espero que continúes tus estudios en matemáticas y estoy seguro de que lo harás bien.

Answer 2

Es una idea interesante. Por desgracia, las expansiones decimales no se comportan muy bien cuando las consideramos módulo $p$ .

Como ejemplo, tomemos $p=3$ y considerar el número racional $\frac{1}{11}$ : $$ \frac{1}{11}=0.090909\ldots=\frac{9}{100}+\frac{9}{10000}+\ldots $$ Modulo $3$ tenemos $1/11\equiv 1/2 \equiv 2$ pero si consideramos la expansión decimal módulo $3$ obtenemos $$ \frac{9}{100}+\frac{9}{10000}+\ldots \equiv \frac{9}{1}+\frac{9}{1}+\ldots\equiv 0+0+\ldots\equiv 0\mod 3. $$ Esto demuestra que aunque la expansión decimal mod $p$ tiene una suma bien definida, la suma podría ser un valor incorrecto. Así que si hay un valor razonable de $\pi$ mod $p$ no debemos esperar necesariamente encontrarlo expresando $\pi$ como un decimal y sumando los términos módulo $p$ .

Por cierto, creo que "¿Cuál es/debe ser el valor de $\pi$ modulo $p$ " es una pregunta muy interesante.

Answer 3

En respuesta a la pregunta "¿los números irracionales no tienen equivalentes integrales en la aritmética modular?"

Al igual que los números racionales tienen un cierre algebraico, los números algebraicos, los campos finitos también tienen cierres algebraicos. Si consideramos, por ejemplo, $\overline{\mathbb{F}_7}$ es decir, el cierre algebraico de los enteros (mod 7), éste contiene dos raíces cuadradas de cinco, al igual que los números algebraicos contienen dos raíces cuadradas de cinco (a saber, $+\sqrt{5}$ y $-\sqrt{5}$ ). Estas raíces cuadradas de cinco son irracionales -- no son cocientes de enteros (mod 7) -- pero no son en ningún sentido significativo las el mismo raíces cuadradas de cinco como las raíces cuadradas reales de cinco.

Aquí hay que tener en cuenta este tipo de fenómeno.