Prueba con subespacios.

Question

Me encontré con esta pregunta en un documento que he encontrado en una búsqueda en google, se me fastidiaron porque mi percepción me sigue diciendo que estoy mal, no importa lo que yo hago.

Vamos $U$, $W$ y $Z$ ser subespacios de un espacio vectorial $V$ y se cumplan las siguientes condiciones:

• $U + Z = W +Z$
• $U \cap Z = W\cap Z$
• $U \subset W$

Demostrar que $U=W$

Así que traté de demostrar por contradicción que $U$ no es igual a $W$, por decir existe algún vector $w \in W \setminus U$ e si $w \in W \cap Z$ entonces $w \in U \cap Z$, lo que significa $w \in U$. En este momento mi mente está gritando "Esto no", y yo creo que debe ser el uso de un enfoque diferente.

Answer 1

$$\frac{U}{U \cap Z} \cong \frac{U + Z}{ Z}$$ $$\frac{W}{W \cap Z} \cong \frac{W + Z}{ Z}$$ But $U + Z = W + Z$ so $$\frac{U}{U \cap Z} \cong \frac{W}{W \cap Z} = \frac{W}{U \cap Z}$$ This implies that $$\dim(U) = \dim (W)$$ but $U \ subseteq W$ and so $$U = W

Answer 2

Tú tienes tu $w\in W\setminus U$. El vector$0\in Z$ para

PS

y debe haber$$w=w+0\in W+Z=U+Z\;,$y$u\in U$tal que$z\in Z$.$w=u+z$, entonces$U\subseteq W$, y por lo tanto

PS

Pero entonces$w-u\in W$ y por lo tanto$$w-u=z\in W\cap Z=U\cap Z\;.$, contradiciendo la elección de$z\in U$.

Answer 3

Sin contradicción y sin más consideraciones acerca de la dimensión. Deje $w\in W$; a continuación,$w\in W+Z$, lo $w=u+z$, para algunas de las $u\in U$ e $z\in Z$.

Pero ahora $z=w-u\in W$, ya que el $U\subseteq W$. Por lo tanto,$w-u\in W\cap Z$, lo $w-u\in U$, ya que el $U\cap Z=W\cap Z$. Así $$w=(w-u)+u\en la U.$$

Otro punto de vista en esto. El entramado de los subespacios de un espacio vectorial es modular; esto significa que, si $U\subseteq W$, luego $$U+(W\cap Z)=(U+Z)\cap W$$ para cada subespacio $Z$ (ver Wikipedia). Bajo nuestra hipótesis de que el lado izquierdo es $U+(U\cap Z)=U$, mientras que el lado derecho es $(W+Z)\cap W=W$. Por lo tanto $U=W$.

Probando el sistema modular de la identidad es un buen ejercicio.

Answer 4

Primero,$U+Z=W+Z\implies \dim(U+Z)=\dim(W+Z)\implies$ $$\dim U+\dim Z-\dim (U\cap Z)=\dim W +\dim Z-\dim(W\cap Z)\implies$$ $$\dim U-\dim(U\cap Z)=\dim W-\dim(W\cap Z)\ \ \ \ (\star)

Pero$\dim(U\cap Z)=\dim(W\cap Z)$, por supuesto. Entonces al poner esto en$(\star)$, obtenemos$$\dim U=\dim W

Y luego, desde$U\subseteq W$, sabemos que$U=W$.

Answer 5

Las primeras dos condiciones dicen que, dim$U =$ dim$W.$ Entonces, usando el hecho de que$U \subset W,$ tenemos$U= W.$

ADVERTENCIA: este proceso solo se puede aplicar si todos los subespacios involucrados (es decir,$U, W, Z$) son de dimensión finita. Pero esto no es una parte del supuesto. Gracias a egreg por señalarlo.