Aplicación del teorema de Green

Question

Así que estoy tratando de resolver este problema planteado así:

Utilizando el Teorema de Green, encuentre el área del elipse definido por (donde $a,b \gt 0$ ):

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leqq 1$$

Tengo problemas para hacerlo,

$$\int_{FrD} \!F \cdot T = {\int\int}_D \left(\frac{df_2}{dx} - \frac{df_1}{dy}\right)$$

Donde $F$ es un campo vectorial. Mi intento de resolver esto fue parametizar el elipse como coordenadas polares y hacer $F$ como $F(x,y) = (1,1)$ . Similares a la forma de conseguir la zona. Pero estoy bastante seguro de que no es la forma correcta.

Answer 1

Esta es una aplicación estándar, una forma de utilizar el Teorema de Green para calcular áreas haciendo integrales de línea.

Dejemos que $D$ sea la elipse, y $C$ su límite $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$ . El área que se intenta calcular es $$\int\!\!\int_D 1\,dA.$$ Según el Teorema de Green, si se escribe $1 = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ entonces esta integral es igual a $$\oint_C(P\,dx + Q\,dy).$$ Hay muchas posibilidades para $P$ y $Q$ . Elige una. A continuación, utilice la parametrización de la elipse \begin{align*} x&=a\cos t\\ y&=b\sin t \end{align*} para calcular la integral de línea.

Como puede ver, la idea de encontrar $P$ y $Q$ con $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$ puede utilizarse para calcular el área de cualquier región encerrada por una curva cerrada simple. Por supuesto, la integral de línea puede ser más complicada que el cálculo del área, pero eso es otra cosa.

Answer 2

Dejemos que $A$ sea el área de la región $D$ delimitada por la elipse con ecuación $$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$

Dejemos que $\partial{D}$ denotan el límite. Se puede parametrizar $\partial{D}$ con orientación contraria a las agujas del reloj, por $$\varphi(t) = (a\cos{t},b\sin{t})$$ Entonces tienes

\begin{align*} A &=\frac{1}{2} \int\limits_{\partial{D}} xdy - ydx \\ &= \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2\pi} (−b \sin(t), a \cos(t)) \cdot (−a \sin(t), b \cos(t) dt \\ &= \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2\pi} (ab \sin^{2}{t} + ab \cos^{2}{t}) \ dt\\ &= \pi \cdot ab \end{align*}

Answer 3

Basta con tomar $Q =0$ y $P =-y$ entonces $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1$ y por la fórmula de Green obtenemos $$ \iint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1} 1dxdy =\iint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy= -\oint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}= 1} ydx =\\\color{blue}{- \int_0^{2\pi} b\sin td(a\cos t)}= ab\int_0^{2\pi} \sin^2 t dt= ab\int_0^{2\pi} \frac{1-\cos (2t)}{2}dt= \color{red}{ ab\pi}$$ Donde lo usamos, $$x= a\cos t~~~and ~~y =b\sin t$$