¿Qué números tienen raíces cuadradas en$\mathbb Q(\phi)$?

Question

Tome el campo$ Q(\phi) $ cuando$\phi$ sea la proporción áurea. Algunos elementos tienen raíces cuadradas en$ Q(\phi) $: $$ \ sqrt {1+ \ phi} = \ phi $$ desde$\phi^2=1+\phi$. Además,$(1+2 \phi)^2=5+8 \phi$ así que $$ \ sqrt {5 +8 \ phi} = 1 +2 \ phi. $$

Mientras que la diagonal de un rectángulo dorado ($ 1 \times \phi $) es de longitud$\sqrt{1+\phi^2}=\sqrt{2+\phi}$. ¿Cuál es la raíz cuadrada de$2+\phi$?

¿Qué elementos en$Q(\phi)$ tienen raíces cuadradas en$Q(\phi)$?

Answer 1

$\mathbb Q(\phi)$ es el intervalo lineal (sobre los racionales$\mathbb Q$) de$1$ y$\phi$. $$(x + y \phi)^2 = x^2 + 2 x y \phi + y^2 (1+\phi) = (x^2 + y^2) + (2x+y) y \phi$ $ Por lo tanto, para$a,b \in \mathbb Q$,$a + b \phi$ tiene una raíz cuadrada en$\mathbb Q(\phi)$ si hay una solución en los racionales de$$ \eqalign{a &= x^2 + y^2\cr b &= (2x+y) y\cr}$ $ Eliminando$y$ , obtenemos$$ 5 x^4 + (2b - 6 a) x^2 + (a-b)^2 = 0$ $ así que lo que necesitamos es que este polinomio tenga una raíz racional$x$. El teorema de la raíz racional puede ser útil. Además, debe tener soluciones reales, por lo que el discriminante$16 (a^2 + a b - b^2) \ge 0$.

Answer 2

$\sqrt{2+\phi}$ es una solución del polinomio irreducible$X^4-5X^2+5$, por lo que no está en$\mathbb Q(\phi)$.