El problema de la vaca en el campo (intersección de áreas circulares)

Question

¿Qué longitud de cuerda se debe utilizar para atar una vaca a un poste de valla exterior de un circular campo para que la vaca sólo pueda pastar la mitad de la hierba de ese campo?

actualizado: Para que quede claro: la vaca debe atarse a un poste en el exterior del campo, no a un poste en el centro del campo.

Answer 1

El campo es el círculo menor/izquierdo, centrado en A. La vaca está atada al poste en E. El círculo mayor/derecho es el radio de pastoreo. Sea R el radio del campo y L la longitud de la cuerda.

El área rozable es la unión de un segmento del campo circular y un segmento del círculo definido por la longitud de la cuerda. (Un segmento de círculo es un sector de círculo menos el triángulo definido por el centro del círculo y los extremos del arco). El área de un segmento de un círculo de radio $R$ con ángulo central $t$ es $\frac{1}{2}R^2(t-\sin(t))$ donde $t$ se mide en radianes.

Para expresar la superficie rozable en términos de $R$ y un ángulo, consideramos los ángulos ∠CED y ∠CAD (que definen los segmentos de las circunferencias; llámalos α y β por comodidad) y el triángulo CEF. Sea $\theta$ ser ∠EFC. $2\theta$ es un ángulo inscrito para el ángulo central $\beta$ sobre el mismo arco, haciendo $\beta = 4\theta$ . La suma de los ángulos del triángulo CEF es $\theta + \pi/2 +\alpha/2=\pi$ o $\alpha =\pi-2\theta$ .

La superficie pastoreable es $\frac{1}{2}L^2(\alpha-\sin\alpha)+\frac{1}{2}R^2(\beta-\sin\beta)=R^2(\frac{1}{2}(L/R)^2((\pi-2\theta)-\sin(\pi-2\theta))+\frac{1}{2}(4\theta-\sin(4\theta)))$ donde $a = CE = L/R=2\sin(\theta)$ . Queremos que sea igual a la mitad del área del campo, $\frac{1}{2}\pi R^2$ .

Es decir, la igualdad de áreas es $$R^2(2(\sin(\theta))^2((\pi-2\theta)-\sin(\pi-2\theta))+\frac{1}{2}(4\theta-\sin(4\theta)))=R^2\frac{\pi}{2}$$

Simplificando:

$$R^2(\pi+(2\theta-\pi)\cos(2\theta)-\sin(2\theta)=\frac{\pi}{2})$$

(La zona grazable parece ser $\pi+\alpha\cos\alpha-\sin\alpha$ (¿se puede ver fácilmente?)

La igualdad de áreas deseada se obtiene para $\theta = \text{ca. } 0.618$ o $L=\text{ca. }1.159 R$ .

Answer 2

Por lo tanto, el área del campo es $\pi r^2$ y quieres que la vaca pueda pastar una superficie igual a la mitad de eso.

Basta con establecer la ecuación ( $r_1$ es el radio del campo, $r_2$ es la longitud de cuerda deseada):

$$\frac{(\pi r_1^2)}{2} = \pi r_2^2$$

A continuación, puedes simplificarlo:

$$\frac{r_1^2 }{2} =r_2^2$$

y luego echar raíces:

$$r_2 =\frac{ r_1 }{\sqrt{2}}$$

Así que necesitas una cuerda que sea igual al radio dividido por la raíz cuadrada de $2$ y el poste no puede estar a menos de esta distancia del borde del campo.

Answer 3

Sea la superficie total del campo = $A$ .

Sabemos que $A = \pi R^2$ donde $R$ = el radio del campo.

Queremos que la vaca pueda pastar en la mitad del área, así que resolvemos para una longitud de cuerda $r$ tal que $\pi r^2 = A / 2$ .

Esto da: $\pi r^2 = \pi R^2 / 2$ Por lo tanto $r = R / \sqrt(2)$ .

En otras palabras, la longitud de la cuerda de la vaca debería ser el radio del campo dividido por sqrt(2).