Demuestre que cada mapa continuo$f: [0,1] \rightarrow [0,1]$ tiene un punto fijo.

Question

Probar que cada mapa continuo $f: [0,1] \rightarrow [0,1]$ tiene un punto fijo.

Supongamos $f$ no tiene un punto fijo, a continuación, $\forall x \in [0,1], f(x) \neq x$.

Por lo tanto tenemos una función definida por el $g(x) = \frac{1}{f(x)-x}$. Tenga en cuenta que como $g(x)$ es la composición o funciones continuas, que debe ser continua.

Sin embargo, $g(0) > 0$ e $g(1) < 0$, por lo que por el teorema del valor intermedio $\exists x \in [0,1]$ tal que $g(x) = 0$. Esto es claramente imposible.

Por lo tanto $f$ tiene un punto fijo.

Answer 1

Tu prueba es correcta. De todos modos, tenga en cuenta que la función $f$ debe cumplir con la línea $y=x$ en al menos un punto, y ese punto es el punto fijo. Para ver esta idea geométrica en una prueba formal, establezca $g(x)=f(x)-x$ y aplique IVT a $g$ .