Supongamos que$A$ es un subconjunto contable de$\mathbb{R}$. Demuestre que existe una función continua$\phi$ de$A$ a$A^c$

Question

Supongamos que $A$ es un subconjunto contable de $\mathbb{R}$ .
Demuestre que existe una función continua $\phi$ desde $A$ a $A^c$ que es inyectivo.
Ya que está pidiendo la existencia de tal función, no sé cómo proceder.

Answer 1

Ya que $A$ es contable, $ M := \{ x-y~~|~~x, y \in A \}$ es contable. Por lo tanto, existe un $z \in M^c$ .

Deje $\phi: A \rightarrow A^c$ , $\phi(x) = x+z$ .

$\phi$ es inyectivo y continuo.

Answer 2

Dado los números de $x_1<x_2<\ldots <x_n$ e $y_1<y_2<\ldots <y_n$, donde $n\ge1$, podemos definir una función de interpolación $$ L_{\{x_1,\ldots, x_n\},\{y_1,\ldots, y_n\}}(x):=\begin{cases}x-x_1+y_1,&x\le x_1\\ \frac{(x-x_k)y_{k+1}+(x_{k+1}-x)y_k}{x_{k+1}-x_k},&x_k\le x\le x_{k+1}\\ x-x_n+y_n,&x\ge x_n.\end{casos}$$ Se verifica que este es continua, estrictamente creciente, y los mapas de $x_i\mapsto y_i$.

Deje $a_1,a_2,\ldots$ ser una enumeración de $A$. Construimos una secuencia $\alpha_1,\alpha_2,\ldots\in A^\complement$ y una secuencia de funciones de $f_n:=L_{\{a_1,\ldots,a_n\}, \{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}}$ y, a continuación, utilizar su límite de $f$. Con este fin, nos aseguramos de que la convergencia es uniforme.

Para empezar, elige $\alpha_1\in A^\complement$. Supongamos que hemos escogido $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}$ y lo construido $f_{n-1}$.

• Si $a_n<\min\{a_1,\ldots,a_{n-1}\}$, pick $\alpha_n\in A^\complement$ tal que $\alpha_n<\min\{\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}\}$ e $|\alpha_n-f_{n-1}(a_n)|<2^{-n}$.
• Si $a_n>\max\{a_1,\ldots,a_{n-1}\}$, pick $\alpha_n\in A^\complement$ tal que $\alpha_n>\max\{\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}\}$ e $|\alpha_n-f_{n-1}(a_n)|<2^{-n}$.
• De lo contrario, $a_n$ está entre dos números previos $a_i,a_j$ (es decir, $a_i=\max\{\,a_k\mid k<n,a_k<a_n\,\}$ e $a_j=\max\{\,a_k\mid k<n,a_k>a_n\,\}$). Pick $\alpha_n\in A^\complement$ tal que $\alpha_i<\alpha_n<\alpha_j$ e $|\alpha_n-f_{n-1}(a_n)|<2^{-n}$.

Observamos que en las $f_n$ converge uniformemente debido a $\|f_n-f_{n-1}\|_\infty<2^{-n}$, por lo tanto la secuencia converge a un continuo de la función de límite de $f\colon \Bbb R\to \Bbb R$. De curso $f|_A$ es también continua. Como $f_n(a_k)=\alpha_k$ a al $n\ge k$, también es claro que la $f$ mapas de $A$ injectively en $A^\complement$.

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Observación 1: puede suceder que $f$ no es inyectiva como una función en $\Bbb R$. Por ejemplo, si $a_n=(-1)^n(1+2^{-n})$, nada impide que la elección de $\alpha_n=(-1)^22^{-n}$, lo que conduce a una función de límite de $f$ con $f(x)=0$ para todos los $x\in[-1,1]$. Afortunadamente, $f$ sólo debe ser inyectiva en $A$. Sin embargo, uno puede lograr la inyectividad en todos los de $\Bbb R$, teniendo más cuidado a la hora de recoger $\alpha_n$. Por ejemplo, uno puede asegurar que todos los segmentos de línea que componen $f_n$ tiene pendiente $\ge \frac12+2^{-n}$ simplemente mediante la selección de $\alpha_n$ , incluso más, a $f_{n-1}(a_n)$ de los anteriormente descritos. A continuación, $\frac{f_n(x)-f_n(y)}{x-y}\ge \frac12$ para todos los $x\ne y$ y todos los $n$, por lo tanto, también en el límite de $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\ge \frac12$ para todos los $x\ne y$.

Observación 2: El argumento anterior funciona también cuando $\Bbb R$ es reemplazado con una contables establecidos, por ejemplo, $\Bbb Q$, es decir, queremos mapa de $A\subseteq \Bbb Q$ injectively en $\Bbb Q\setminus A$ - proporcionada $\Bbb Q\setminus A$ es densa. Para $\Bbb R$ como en el OP, densidad ya está claro por la cardinalidad.

Answer 3

Desde $A$ es contable, $A^c$ debe ser incontable (de hecho, el tamaño de la continuidad). Por lo tanto, hay continuum muchas funciones posibles de $A$ a $A^c$ cuales son inyectiva. También, hay continuum muchas funciones continuas de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ (véase la Cardinalidad del conjunto de los reales de funciones continuas). Por lo tanto, debe haber al menos continuo de muchas funciones continuas de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ cuya restricción a $A$ da una función inyectiva de $A$ a $A^c$. Dado que la restricción de una función continua es continua (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Restriction_(matemáticas)), existe una función.

*Estoy realmente ahora no estoy seguro si esto funciona, pero lo dejaré hasta que yo pueda entenderlo y ya hay una buena respuesta...