¿Las invariantes y co-invariantes para un grupo cíclico tienen la misma dimensión?

Question

Deje $V$ ser finito dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_p$ con una acción cíclica grupo $C_p$ orden $p$. Ahora podemos formar las dos espacios vectoriales de invariantes $V^{C_p}$ y co-invariantes $V_{C_p}$.

Qustion: ¿siempre tenemos $\dim{V^{C_p}=\dim V_{C_p}}?$

Solo para decir lo que yo sé acerca de esta pregunta:

1. Esto es cierto para el trivial de la representación y de los regulares de la representación y, por tanto, de cualquier suma directa de ellos. Es decir, para cualquier permutación de la representación.

2. Cuando se trabaja sobre un campo de característica 0, la norma canónica mapa proporciona un isomorfismo natural de la co-invariantes a los invariantes.

3. Más de $\mathbb{F}_p$, la norma mapa no es un isomorfismo y de hecho, no hay isomorfismo natural que existe.

4. Para arbitrario $p$grupos $G$ en lugar de $C_p$ esto es falso.

Answer 1

Bueno, $V^{C_p}$ y $V_{C_p}$ son el kernel y el cokernel de $V\xrightarrow{g-1}V$ , $g$ un generador de $C_p$ , por lo que tienen la misma dimensión.