¿Cómo mostrar que$\pi^\pi$ no es un número entero?

Question

Esto va sin decir, pero, no puedo usar una calculadora para evaluar $\pi^\pi$. Creo que tenemos que encontrar un entero $x$ tales que $$x<\pi^\pi < x+1. \tag{1}$$

Sin embargo, ya que no tengo idea de lo $\pi^\pi$ , es posible que no voy a encontrar a $x$, pero si puedo probar que tal se entero $x$ existe, será suficiente. Pero esto parece ser un problema difícil.

Puedo usar una calculadora para otras cosas, por ejemplo: la evaluación de $\pi,\pi^2,e^{27}$ o $\log, \sin$ etc. Traté de tomar la $\log$ base $\pi$ en $(1)$ a simplificar $\pi^\pi$ sólo $\pi$.

Tal vez este enfoque es equivocado.

Esto no es una "tarea para la casa problema", es sólo algo que me pareció interesante para hacer y aprender más.

Apreciaré cualquier insight y la mejora de las etiquetas. Gracias!

Además, no creo que el uso de una potencia de la serie para $\pi^x$ es justo, porque así es como calculadoras encontrar el número en el primer lugar.

¿Qué acerca de la $\pi^{\pi^{{\pi}^{\pi}}}$ ? Este es un problema abierto, así que quería ver si hay una forma de demostrar que $\pi^\pi$ no está entero en una "manera analítica", sino también el uso de softwares matemáticos si es necesario, pero gracias por las respuestas.

Answer 1

Arquímedes demostró directamente de la geometría (por inscribir y circunscribir regular 96-ágonos a un círculo) que $$ 3+10/71<\pi<3+1/7. $$ Es bastante sencillo para manipular las desigualdades para mostrar que $$ 36<(3+10/71)^{3+10/71}\textrm{ y } (3+1/7)^{3+1/7}<37. $$ Se reduce a la comparación de enteros grandes, por ejemplo, $31^{31}<7^{31}37^7$ para el segundo. Ya que la función $x^x$ es monótona creciente para $x>1$ (tomando la derivada, o argumentando desde la monotonía de la suma y multiplicación de números enteros positivos), $36 < π^π < 37$ no es un número entero.

Answer 2

La pregunta principal a responder es "¿Cómo define $\pi$ ?"

Una vez que sepamos eso, podemos comenzar a encontrar los límites superior e inferior para $\pi$ que muestran lo que su calculadora le mostró: Eso

PS

Answer 3

Primero que nada, aviso que $(x^x)' = x^x(1+\ln(x))$ lo que significa que tenemos la precisión de al menos $0.01$ , para discutir el entero de evaluación en torno a $30$ donde nos espera el posible número entero a la tierra.

Tomar que

$$\sqrt{163} - \sqrt{67} \approx 4\ln(\pi)$$

(La constante es en realidad bastante precisas $4.0025$.)

Ahora, de nuevo con bastante precisión

$$e^{\pi \sqrt{163}} \approx 640320^3+744$$

$$e^{\pi \sqrt{67}} \approx 5280^3+744$$

ambos muy cerca de un entero debido a Heegner números involucrados.

Ahora

$$\frac{e^{\pi \sqrt{163}}}{e^{\pi \sqrt{67}}}=e^{\pi (\sqrt{163}-\sqrt{67})} \approx e^{4 \pi \ln(\pi)}$$

Significado

$$\pi^{4\pi} \approx \frac{640320^3+744}{5280^3+744} \approx \frac{640320^3}{5280^3} = \left ( \frac{1334}{11} \right)^3 \approx \left ( \frac{1331}{11} \right)^3 = 121^3=11^6$$

Si $\pi^{\pi}$ es un número entero, así es $\pi^{2\pi}$ y encontramos que está muy cerca a $1331$.

Sin embargo $\pi^{\pi} = \sqrt{11^3}=\sqrt{1331}$ no puede ser un número entero ya que no hay cerca de la plaza de a $1331$, al menos no dentro del margen de error de las estimaciones de los involucrados.

(Observe que el método completamente evita tratar con números grandes.)

Answer 4

PS

PS

PS

Por lo tanto, $$3.141 < π < 3.142$ no es un número entero.

Answer 5

Tenemos $\pi<\frac{22}7$. A ver que $\pi^\pi<37$, comprobamos que $(22/7)^{22/7}<37$, o, equivalentemente, $$22^{22}<37^7\cdot 7^{22}. $$ Esto es algo que puede hacer sin calculadora (aunque yo no): $$ 341427877364219557396646723584<94931877133\cdot 3909821048582988049$$ Es posible hacer una similar estimación a la baja de la misma forma, pero que requieren mucho más altos que los poderes de la buena suerte. Así que, en realidad, una calculadora de bolsillo arroja $36.4621596$ , e incluso si nos permiten un increíble 1% de error en el cálculo, esta es la forma segura entre los $36$ e $37$.