intercambiando límites en algo así como una suma de Riemann

Question

Tengo un problema que me ha estado molestando. Cómo puedo intercambiar esos límites D:

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}=\lim_{n \to \infty}[ \lim_{m \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{1+(\frac{k}{n})^{2}}]$ . Ahora sé que hay algo mal porque necesito intercambiar los límites pero incluso si pudiera conseguir algo con no mucho sentido porque, ¿qué hago con eso? $m$ Estaba pensando en crear una secuencia pero no pude verla.

Así que, ¡cualquier ayuda será realmente apreciada! :D

Answer 1

Formalmente , cambiando los límites obtenemos

$$\begin{align}\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{mn}\frac{n}{n^2+k^2} &= \lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{mn}\frac{1}{1+(k/n)^2}\\ &= \lim_{m \to \infty}\int_0^m \frac{dx}{1 + x^2} \\ &= \lim_{m \to \infty} \arctan(m)\\ &= \frac{\pi}{2}\end{align}$$

Esto no es fácil de justificar. Los teoremas habituales fallan ya que el sumando no es monótono y la serie no es uniformemente convergente. (De lo contrario, el límite sería $0$ ).

Una prueba rigurosa utilizaría $$\sum_{k=1}^\infty\frac{n}{n^2+k^2} = \frac i2\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{in-k}+\frac1{in+k}\right) =-\frac{1}{2n}+\frac{\pi i}{2}\cot(\pi in)\\ =-\frac1{2n}+\frac\pi2\coth(\pi n)$$

lo que implica

$$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^\infty\frac{n}{n^2+k^2}= \frac{\pi}{2}$$

desde $\coth(x) \to 1$ como $x \to \infty$ .

Answer 2

Supongamos que $f:[0,\infty)\to [0,\infty)$ es decreciente, y $\int_0^\infty f(x)\,dx$ es finito. Para $n=1,2,\dots,$ set

$$S_n = \sum_{k=1}^{\infty}f\left(\frac{k}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}.$$

Entonces

$$\lim_{n\to \infty} S_n = \int_0^\infty f(x)\,dx.$$

Esto se deduce de la observación de que

$$\int_{0}^\infty f(x)\,dx - \frac{f(0)}{n}\le \int_{1/n}^\infty f(x)\,dx \le S_n \le \int_{0}^\infty f(x)\,dx,$$

que se puede ver al observar las áreas de los rectángulos de la manera habitual.

En nuestro problema, $f(x) = \dfrac{1}{1+x^2},$ y el límite deseado es $\pi/2.$