Mapa inyectivo de grupo abeliano y producto de cocientes cíclicos.

Question

Deje que $A$ sea un grupo abeliano. Tenemos un mapa de $A \to \prod{(A/I)}$ donde $A/I$ varía sobre los cocientes cíclicos de $A$ . Este mapa se proporciona enviando $x$ a $\prod (x \text{ mod } I)$ . ¿Es este mapa inyectivo?

Answer 1

No.

Deje $A=\mathbb{Q}$ . Como $A$ es divisible, todos los cocientes de $A$ son divisibles. En particular, $A$ no tiene cocientes cíclicos no triviales. Así que $\prod (A/I)$ es trivial.

Answer 2

Para complementar @user10354138 la respuesta:

Es cierto iff $A$ es residual finito.

Si $A$ es una de torsión libre de abelian grupo, es residual finito si y sólo si no contiene ningún subgrupo isomorfo a $\mathbf{Q}$. De hecho, una de torsión libre de abelian grupo siempre se descompone (no canónicamente) como suma directa de $A_{\mathrm{div}}\oplus B$, donde $A_{\mathrm{div}}$ es su subgrupo de divisible elementos (este es un espacio vectorial sobre $\mathbf{Q}$), y un residual finito grupo abelian $B$.