Otra desigualdad simétrica

Question

Cómo uno mostraría que % positivo $a,b,c,d$y $a+b+c+d = 4$ que % $ $$ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \leq \frac{4}{abcd} $

Answer 1

Considere la posibilidad de

$$\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}\right)abcd = a^2cd + b^2ad + c^2ab + d^2bc = ac(ad + bc) + bd(ab + cd)$$

Ya que no hay simetría cíclica, podemos asumir que $ad + bc \le ab + cd$.

Así

$$ac(ad + bc) + bd(ab + cd) \le (ac + bd)(ab + cd)$$

Ahora $xy \le \left(\frac{x+y}{2}\right)^2$

y así

$$(ac + bd)(ab + cd) \le \left(\frac{ac + bd + ab + cd}{2}\right)^2 = \left(\frac{(a+d)(b+c)}{2}\right)^2$$

La aplicación de $xy \le \left(\frac{x+y}{2}\right)^2$ nuevo tenemos

$$\left(\frac{(a+d)(b+c)}{2}\right)^2 \le \left(\frac{\left(\frac{a+b+c+d}{2}\right)^2}{2}\right)^2 = 4$$

Así $$\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}\right)abcd \le 4$$

y así

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \le \frac{4}{abcd}$$

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Lo que hemos demostrado es que, para los cuatro números positivos,

$$ \left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4 \ge abcd\frac{\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d}+ \frac{d}{a}\right)}{4}$$

y desde $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d}+ \frac{d}{a} \ge 4$, esta desigualdad es más fuerte que el $\text{AM} \ge \text{GM}$ $4$ números.

Sorprendentemente, sólo se utiliza $\text{AM} \ge \text{GM}$ (dos veces) para probarlo! Y para dos números, similar a la desigualdad en realidad es falso!

Answer 2

Prueba agradable de Aryabhata puede ser replanteada como:

$$ (ac + bd) ((a + b + c + d) ^ 4 - 64(abcc+bcdd+cdaa+dabb)) \\ =AC(16(AC+BD-ad-BC)^2+(a+b-c-d)^2((a+b+c+d)^2+4(a+b)(c+d))) \\ +BD(16(AC+BD-AB-CD)^2+(b+c-d-a)^2((a+b+c+d)^2+4(b+c)(d+a))) \\ \ge 0$ $

Por lo tanto, si $a+b+c+d = 4$, $abcc+bcdd+cdaa+dabb \le 4$.

Answer 3

Supongamos que $a,b,c,d>0$. Reescribiendo la ecuación da: $$ \begin{eqnarray*} a^2cd+b^2ad+c^2ab+d^2bc\leq 4 \end{eqnarray *} Se alcanza la igualdad de $$, si $a=b=c=d=1$. Se deja para ver, que este máximo:

Que $b=(2-a)$ $0<a<2$ y $c=d=1$. Sustitución de esto, le da $$ \begin{eqnarray*} (a-2)(a-1)^2&<&0 \end{eqnarray *} $$ lo cual es cierto para la gama dada de $a$.