Una unión finita de subgrupos cíclicos infinitos de un grupo$G$ nunca es un grupo.

Question

$\mathbf{Question}$: Considere la posibilidad de un infinito de grupo $G$. Deje $\langle a_1\rangle , \langle a_2\rangle, \ldots, \langle a_m\rangle $ ($\langle a_i\rangle =C_i$) ser un conjunto finito de lo infinito cíclico subgrupos de $G$ tal que $C_i \not\subset C_j$ para $i \neq j$. A continuación, $\displaystyle\bigcup_{i=1}^mC_i$ nunca es un subgrupo de $G$. ($m>1$)

$\mathbf{A \ restricted \ version:}$ Considere la posibilidad de un infinito conmutativa grupo $G$. Deje $<a_1>, <a_2>, ..., <a_m>$ ($<a_i>=C_i$) ser un conjunto finito de lo infinito cíclico subgrupos de $G$ tal que $C_j \not\subset \displaystyle\bigcup_{I \setminus \{j\}}C_i$ , $I=\{1,2,3,...,m\}$. A continuación, $\displaystyle\bigcup_{i=1}^mC_i$ nunca es un subgrupo de $G$. ($m>1$)

No sé cómo proceder. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Esto no es una prueba plena, pero que excluye a una gran cantidad de grupos y es demasiado largo para caber en un comentario.

Voy a demostrar que no trivial grupo $G$ es la unión de un número finito infinito cíclico subgrupos, a menos que $G=\Bbb Z$ o $G$ es no conmutativa grupo con uno de los extremos.

Supongamos que $G=\bigcup_{i=1}^n \langle c_i\rangle$ donde $n>1$ e $\langle c_i\rangle\simeq \Bbb Z$ por cada $i$, en particular de cada elemento en $G$ tiene una infinidad de orden y $G$ es finitely generado. Por un famoso resultado de Freudenthal y de Hopf $G$ ha $1,2$ o infinitamente muchos extremos, nos fijamos en estos casos por separado.

Si $G$ tiene un solo fin y $G$ es abelian, a continuación, $G\simeq\Bbb Z^m$, para $m>1$, por la estructura teorema de finitely generado abelian grupos, y es fácil demostrar que los $\Bbb Z^m$ no es la unión de un número finito de subgrupos cíclicos, por explicitamente la construcción de un elemento que no figuran en dicha unión.

Si $G$ tiene un solo fin y $G$ no abelian yo no puedo concluir la prueba, y es la única que faltan caso.

Si $G$ tiene dos extremos, a continuación, otro resultado de Freudenthal y de Hopf muestra que $G$ debe ser prácticamente $\Bbb Z$ , y es conocido que una de torsión libre prácticamente $\Bbb Z$ grupo es trivial o $\Bbb Z$ (ver por ejemplo aquí una referencia), lo que concluye la prueba en este caso (ya que es fácil demostrar que los $\Bbb Z$ no es la unión de más de una infinita subgrupo cíclico).

Si $G$ tiene más de dos extremos, entonces debe de haber una infinidad de. Recoger un balón en el grafo de Cayley cuyo complemento tiene una infinidad de componentes conectados. El subespacio $\langle c_i\rangle$ del grafo de Cayley (es decir, los vértices $c_i^n$ para $n\in\Bbb Z$ y los bordes de unirse a $c_i^n$ a $c_i^{n+1}$) está conectado por cada $i$, por lo que es claro que un número finito de estos subespacios no puede cubrir el complemento de la pelota, por lo que no puede cubrir los vértices del grafo de Cayley y por lo tanto $G$ no es la unión de la $\langle c_i\rangle$, una contradicción.

Answer 2

Supongamos $G$ es un grupo y $G=\bigcup_{i=1}^m C_i$ donde cada una de las $C_i$ es un infinito subgrupo cíclico. Tenga en cuenta que $G$ debe ser de torsiones. Por B. H. Neumann Lema, algunos $C_i$ ha finito índice. Por lo $G$ es de torsiones y prácticamente cíclica (es decir, tiene un subgrupo cíclico finito de índice). De ello se desprende que $G$ es cíclica (ver esta respuesta).

Ahora es fácil demostrar que los que no podemos tener $C_i$ e $C_j$ mutuamente incomparable cuando se $i\neq j$ (a menos que $m=1$).