Prueba $\log|e^z-z|\leq |z|+1$

Question

Demostrar que $\log|e^z-z|\leq |z|+1$ donde $z\in\mathbb{C}$ con $|z|\geq e$ .

Antecedentes:

Esto es de una prueba que $e^z-z$ tiene infinitos ceros. La etapa actual es que asumimos en contradicción que $e^z-z$ no tiene ningún cero.

Mi intento:

Supongo que el significado de $\log$ Aquí se encuentra la principal rama de $\log$ .

Sabemos que $|w|\in\mathbb{R} ,\ \forall w\in\mathbb{C}$ . Porque $\log$ está aumentando en $\mathbb{R}^+$ y según la desigualdad del triángulo obtenemos $$\log|e^z-z|\leq\log(|e^z|+|z|)$$ Pero no estoy seguro de cómo proceder. Gracias.

Answer 1

\begin{align*} |e^z-z|&\le|e^z|+|z|\\ &\le e^{|z|}+|z|\quad\textrm{from series expansion}\\ &\le e^{|z|+1}\quad\textrm{again from series expansion} \end{align*}

Answer 2

Utiliza la definición: $e^z = \sum_{n=0}^\infty z^n/n!$

$$ \begin{align} \vert e^z - z \vert &= \vert 1+z^2/2 + z^3/6 + \cdots \vert \\ &\leq 1+\vert z \vert ^2/2 + \vert z^3 \vert/6 + \cdots\\ &= e^{\vert z \vert} - \vert z \vert \\ &\leq e^{\vert z \vert}\\ &< e^{\vert z \vert + 1} \end{align} $$

Answer 3

Sugerencia: estimación para $r=|z|\ge 0$ $$ \log|e^z-z|\le\log(e^r+r)=\log(e^r[1+re^{-r}])=r+\log(1+re^{-r}). $$ Demostrar que la función $f(r)=re^{-r}$ alcanza el máximo en $r=1$ y $1+e^{-1}\le e$ .

Answer 4

Existe una solución directa y rápida al problema de la pregunta, y una solución que utiliza la aproximación logarítmica en lugar de la exponencial que probablemente también sea más fácil de manejar al utilizar el teorema de Rouché.

Solución rápida mediante las funciones polilog o Lambert-W

Raíces de $e^z-z=0$ vienen en pares complejos conjugados. Como la ecuación es equivalente a $-ze^{-z}=-1$ estas raíces se pueden escribir con la función Lambert-W como $z_k=-W_{k}(-1)$ .

for k in range(-5,5): print k, -lambertw(-1,k)
>>>>>>
-5 (3.287768611544094 +26.580471499359145j)
-4 (3.020239708164501 +20.272457641615222j)
-3 (2.6531919740386973+13.949208334533214j)
-2 (2.062277729598284 + 7.588631178472513j)
-1 (0.3181315052047642+ 1.3372357014306893j)
 0 (0.3181315052047642- 1.3372357014306893j)
 1 (2.062277729598284 - 7.588631178472513j)
 2 (2.6531919740386973-13.949208334533214j)
 3 (3.020239708164501 -20.272457641615222j)
 4 (3.287768611544094 -26.580471499359145j)

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Solución larga utilizando un argumento de punto fijo

Ahora se podría preguntar por la existencia de estas infinitas ramas de la función Lambert-W y una localización más precisa de las raíces.

Ubicación aproximada de la raíz

Para cualquier raíz $z=x+iy$ Satisfaciendo a $z=e^z$ obtenemos $$x^2+y^2=e^{2x}.$$ En primer lugar, esto significa que $e^x>|x|$ o $x>-W_0(1)=-0.56714329...$ . Para grandes $x$ tenemos $e^x\gg x$ para que el valor de $y$ tiene que dominar, $y\sim\pm e^x$ . Entonces la fase de $z$ , como $z$ está casi en el eje imaginario, es $\pm\frac\pi2$ . Como eso tiene que reflejarse en la parte imaginaria del exponente en $e^z$ esto requiere que para la raíz en el semiplano superior $Im(z)\approx y_k= 2\pi k+\frac\pi2$ , $k>0$ .

Entonces una primera aproximación para la raíz es $$z\approx \ln(y_k)+iy_k=\ln(2\pi k+\frac\pi2)+i(2\pi k+\frac\pi2).$$

Construcción de una función de punto fijo

Por lo tanto, parece aconsejable orientar las correcciones de esta aproximación en la misma dirección, es decir, establecer $z=\ln(y_k)+iy_k+iw$ para que $$ -i\ln(y_k)+y_k+w=-iz=-ie^{z}=e^{-i\frac\pi2+z}=y_ke^{iw}\\ w=g(w)=-i\,Ln\left(1+\frac{w-i\ln(y_k)}{y_k}\right) $$

Contractividad

El mapa de punto fijo $g$ tiene, por $k\ge 1$ el límite de la derivada $$ g'(w)=\frac{-i}{y_k-i(w+\ln(y_k))}\implies |g'(w)|<\frac1{2\pi k} ~~\text{for }|w|\le1 $$

Propiedad de auto-mapeo

Además, desde $|Ln(1+v)|\le\frac{|v|}{1-|v|}$ se obtiene que para $|w|\le1$ y $k\ge 1$ $$ |g(w)|\le \frac{1+\ln(y_k)}{y_k-1-\ln(y_k)}<0.64<1. $$

Conclusión:

Esto significa que el disco de la unidad $\Bbb D$ se mapea en sí mismo y el mapeo $g$ es contractiva en el disco unitario, por lo que hay exactamente un punto fijo, es decir, exactamente una raíz de la ecuación en el disco trasladado $(\ln y_k+iy_k)+\Bbb D$ .