( Explicación de la prueba ) Demuestre que un determinado sistema preserva el área ponderada $ (dx \wedge dy)/xy$

Question

Ya dije hace unas preguntas que actualmente estoy leyendo un resumen sobre las ecuaciones diferenciales de Lotka Volterra. Pero ahora tengo una prueba, donde necesito explicaciones. Considere: $$ \dot{x} = -xy\frac{\delta H}{ \delta y} , x(0) = \hat{x} $$ $$ \dot{y} = xy\frac{\delta H}{ \delta x} , y(0) = \hat{y} $$ donde $H(x,y) = x + y - ln(x) -ln(y)$ .

Tengo que demostrar que este Sistema conserva el área ponderada $(dx \wedge dy)/xy$ . He marcado mis preguntas en la prueba de abajo.

Prueba :

Dejemos que $\Omega_0$ sea un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ en el momento $t_0$ y $ \Omega_1$ el conjunto en el que $\Omega_0$ es mapeado por el sistema anterior en el momento $t_1$ . Preservación de $(dx \wedge dy)xy$ equivale a $$ \int_{\Omega_0} \frac{1}{xy}dxdy = \int_{\Omega_1} \frac{1}{xy} dxdy $$ primera pregunta: ¿por qué es equivalente? A continuación, examinamos el Dominio $D$ en el espacio x,y,t con el bondary $\delta D$ dado por $\Omega_0$ en $t_0$ , $\Omega_1$ en $t_1$ y el conjunto de trayectorias que salen de la frontera de $\Omega_0$ y terminando en el boudnary de $\Omega_1$ . Consideremos el campo vectorial $$ v := \frac{1}{xy}(\dot{x},\dot{y},1)^T $$ en $x,y,t$ espacio. Integrando este campo vectorial sobre la frontera $\delta D$ de $D$ obtenemos $$ \int_{\delta D} v \cdot n = \int_{\Omega_0} v \cdot n_0 + \int_{\Omega_1} v \cdot n_1 = \int_{\Omega_0} \frac{1}{xy} dxdy - \int_{\Omega_1} \frac{1}{xy}dxdy $$ donde $n_0 =(0,0,-1)^T$ denota la normal unitaria exterior de $\Omega_0$ y $\Omega_1$ . Segunda pregunta y tercera pregunta: ¿Puede explicar por qué integramos $v \cdot n$ ? Pensé que integrábamos $v$ ¿y puedes explicar la primera ecuación de arriba? No hay ninguna otra contribución a la integral de superficie, porque el campo vectorial $v$ es por contrucción paralela a las trayectorias, que forman el resto del bondary $\delta D$ . Cuarta pregunta: ¿Puedes explicar por qué el campo vectorial es paralelo a las trayectorias? Aplicando el teorema de la divergencia al lado izquierdo de la misma ecuación, obtenemos $$ \int_{\delta D} v \cdot n = \int_D \nabla v = \int_D - \frac{\delta H^2}{\delta x \delta y} + \frac{ \delta H^2}{\delta x \delta y} + 0 = 0 $$ lo que concluye la prueba.

Espero que mis preguntas no sean demasiado fáciles, pero soy un principiante.

Answer 1

Creo que la prueba está tomada de Mickens, Aplicaciones de los esquemas de diferencias finitas no estándar . Preservación de la zona ponderada por el factor $\rho$ por definición significa que $$\int_{\Omega(t_0)} \rho \, dS = \int_{\Omega(t)} \rho \, dS$$ si el conjunto $\Omega(t_0)$ se asigna a $\Omega(t)$ por el sistema (los omegas son conjuntos de $(x, y)$ puntos). Queremos demostrar que esto se cumple para el sistema dado y para $\rho(x, y) = 1/(x y)$ .

Supongamos que parametrizamos $\partial \Omega(t_0)$ por $\phi$ . Un punto $(x, y, t)$ en la superficie $\mathcal S$ viene dada por la especificación de $\phi$ y $t$ : $x$ y $y$ son la solución del sistema en el momento $t$ con las condiciones iniciales dadas por $\phi$ . Si arreglamos $\phi$ y varían $t$ , obtendremos una curva $(x, y, t)$ que se encuentra en $\mathcal S$ por la construcción. Desde $\boldsymbol v = (\dot x, \dot y, 1)$ es tangente a la curva, también lo es a $\mathcal S$ .

Entonces tomamos $\partial D = \mathcal S \cup \Omega(t_0) \cup \Omega(t)$ y tomar $\hat {\boldsymbol n}$ para ser la unidad exterior normal a $\partial D$ . Desde $\boldsymbol v \cdot \hat {\boldsymbol n} = 0$ en $\mathcal S$ y $\dot \rho = 0$ ,

$$\int_{\partial D} \rho \hspace {1px} \boldsymbol v \cdot \hat {\boldsymbol n} \, dS = -\int_{\Omega(t_0)} \rho \,dS + \int_{\Omega(t)} \rho \, dS, \\ \int_{\partial D} \rho \hspace {1px} \boldsymbol v \cdot \hat {\boldsymbol n} \, dS = \int_D \nabla \cdot (\rho \hspace {1px} \boldsymbol v) \, dV = \int_D \nabla \cdot \left( -\frac {\partial H} {\partial y}, \frac {\partial H} {\partial x}, \rho \right) dV = 0.$$