Integrar:

Question

Estoy tratando de integrar los $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin^2(x)}{x^2} dx$ por el método de contorno. Estoy pensando en el siguiente contorno pero no soy capaz. También no estoy seguro de si es correcto enfoque.

$$\int_\Gamma f(z) dz + 2 \int_0^\infty f(z) dz + \int_\gamma f(z)dz = 0$$ La primera integral tiende a cero, como se $R \to \infty $, pero dejando $\epsilon \to 0$, para el último integral que estoy consiguiendo. $$\int_{\pi }^0 \frac{\sin^2({\epsilon e^{i\theta}})}{\epsilon^2 e^{i2\theta }} i \epsilon e^{i\theta}d\theta = 0$$

AGREGÓ:: Toma las contorno, no tenemos ningún polo en el interior del contorno. $$\int_{-\infty}^\infty \frac{1 - e^{i2z}}{2z^2}dz + \int_\Gamma \frac{1 - e^{i2z}}{2z^2} dz + \int_\gamma \frac{1 - e^{i2z}}{2z^2} dz = 0 \hspace{1 cm }(1)$$

$\displaystyle \int_\Gamma \frac{1 - e^{i2z}}{2z^2} dz \to 0$ debido a Jordania Lema. Para evaluar $\displaystyle \int_\gamma \frac{1 - e^{i2z}}{2z^2} dz $ deje que el radio de la pequeña semi círculo se $\epsilon \to 0 $.

$$\lim_{\epsilon \to 0}\int_\pi^0 \frac{1 - e^{i2\epsilon e^{i\theta}}}{2\epsilon ^2 e^{i2\theta}} i \epsilon e^{i\theta}d\theta =\lim_{\epsilon \to 0} \int_\pi^0 \frac{1 - 1 - 2i\epsilon e^{i\theta} + O(\epsilon^2)}{2\epsilon e^{i\theta}} i = \lim_{\epsilon \to 0} \int_\pi^0 1+ O(\epsilon) d\theta = -\pi \hspace{1 cm }(2)$$

De $(2)$, $(1)$ se reduce a $$\int_{-\infty}^\infty \frac{1 - e^{i2z}}{2z^2}dz - \pi = 0 \implies \Re \int_{-\infty}^\infty \frac{1 - e^{i2z}}{2z^2}dz = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(x)^2}{x^2}dx = \pi$$

Incluyendo singularidad en $z = 0$, tendremos que interior pequeño círculo en el plano inferior. $$\int_{-\infty}^\infty \frac{1 - e^{i2z}}{2z^2}dz + \int_\Gamma \frac{1 - e^{i2z}}{2z^2} dz + \int_\gamma \frac{1 - e^{i2z}}{2z^2} dz = 2 \pi i \text{Residue}[f(z), z = 0] = 2\pi \hspace{1 cm }(3)$$

Como para $\displaystyle \int_\gamma \frac{1 - e^{i2z}}{2z^2} dz = \lim_{\epsilon \to 0}\int_{-\pi}^0 \frac{1 - e^{i2\epsilon e^{i\theta}}}{2\epsilon ^2 e^{i2\theta}} i \epsilon e^{i\theta}d\theta = \pi \hspace{1 cm }(4)$

De $(3)$ e $(4)$ obtenemos el mismo resultado.

Answer 1

Lo que intenta hacer, no funcionan ya que su función es (casi) la analítica de insde la ruta que toma y por lo tanto no ayudan a evaluar el verdadero integral.

Vamos a tratar el siguiente:

$$\cos 2x=1-2\sin^2x\implies \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2} \;\text{define}\;\;f(z):=\frac{1-e^{2iz}}{2z^2}:$$

$$\text{Res}_{z=0}(f)=\lim_{z\to 0}\,zf(z)=\lim_{z\to 0}\frac{1-e^{2iz}}{2z}\stackrel{\text{l'Hospital}}=-i$$

Pregunta: lo anterior implica $\,z=0\,$ es un simple polo...¿por qué esto es así y no una doble?

Tomando su contorno, tomando los límites y etc. y usando el lema y, especialmente, su corolario en el 2do. la respuesta aquí , llegamos después de comparar las partes reales e imaginarias

$$\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}dx=\pi\;\;\ldots\ldots$$