¿La unión contable de la medida cero es cero?

Question

Deje$E=\cup_{i=1}^\infty A_i$ donde la medida de$A_i$ es cero. ¿Cómo puedo concluir que$E$ tiene medida cero?

Answer 1

Si su medida$\mu$ es un aditivo sigma sigma, seguramente puede decir que \ [\ mu (E) \ leq \ sum_ {i = 1} ^ \ infty \ mu (A_i) = 0 \] Si no es la declaración no necesita ser verdad

Answer 2

Sugerencia: Suponiendo que la medida es la medida de Lebesgue, para cada$A_i$, puede encontrar un conjunto abierto$O_i$ tal que$A_i\subseteq O_i$ y la medida de$O_i$ es menor que$\varepsilon/2^i$. Si no, siempre que la medida sea subaditiva, puede seguir el enfoque de Dominic Michaelis.

Answer 3

Sigue por sigma-aditividad. PS