¿Existe una forma cerrada para la suma doble $\sum_{n,k} \frac{1}{\text{lcm}^3 (n,k)}$

Question

¿Existe una forma cerrada para la suma doble con el mínimo común múltiplo? $$\sum_{n \geq 1} \sum_{k \geq 1} \frac{1}{\text{lcm}^3 (n,k)}$$

Para sumas truncadas, Mathematica da:

$$\sum_{n = 1}^{2500} \sum_{k = 1}^{2500} \frac{1}{\text{lcm}^3 (n,k)}=1.707289827$$

$$\sum_{n = 1}^{5000} \sum_{k = 1}^{5000} \frac{1}{\text{lcm}^3 (n,k)}=1.707290976$$

$$\sum_{n = 1}^{10000} \sum_{k = 1}^{10000} \frac{1}{\text{lcm}^3 (n,k)}=1.707291287$$

Está muy cerca de $1+1/ \sqrt{2}$ pero no del todo.

Por cierto, ¿cómo demostramos que converge?

Answer 1

Para cualquier $m\geq 1$ el número de parejas $(n,k)$ tal que $\text{lcm}(n,k)=m$ puede entenderse fácilmente. Suponiendo que la factorización de $m$ viene dada por $p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{a_k}$ Hay $(2\alpha_1+1)\cdots (2\alpha_k+1)$ a esas parejas. Si denotamos con $g(u)$ la función multiplicativa cuyo valor en $p^\alpha$ es $2\alpha+1$ la serie original es igual a la serie de Dirichlet: $$ \sum_{m\geq 1}\frac{g(m)}{m^3}=\prod_{p\in\mathcal{P}}\left(1+\frac{g(p)}{p^3}+\frac{g(p^2)}{p^6}+\frac{g(p^3)}{p^9}+\ldots\right)=\prod_{p\in\mathcal{P}}\left(1-\frac{1}{p^6}\right)\left(1-\frac{1}{p^3}\right)^{-3} $$ que puede representarse fácilmente en forma cerrada, $\color{red}{\large\frac{\zeta(3)^3}{\zeta(6)}}$ , a través de Producto de Euler .

De manera similar:

$$\forall s>1,\qquad \sum_{m,n\geq 1}\frac{1}{\text{lcm}(m,n)^s} = \sum_{m\geq 1}\frac{g(m)}{m^s}=\color{red}{\frac{\zeta(s)^3}{\zeta(2s)}}.$$