Demostrar que el complemento de$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$. En el plano$\mathbb{R}^2$ está conectado.

Question

Demostrar que el complemento de$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$. En el plano$\mathbb{R}^2$ está conectado.

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No tengo idea de cómo puedo hacer eso. Si$\mathbb{R} \setminus\mathbb{Q}$ está conectado, entonces la prueba es fácil, lo cual no es cierto. Que alguien me ayude por favor. Gracias por tu tiempo.

Answer 1

Para cualquier $(x,y) \in X = \mathbb{R}^2 \setminus \mathbb{Q}^2$, al menos uno de $x, y \notin \mathbb{Q}$. Siempre podemos conectar a $(\sqrt{2},\sqrt{2}) \in X$ por un polígono, camino de $X$:

$$\begin{cases} (x,y) \to (x, \sqrt{2} ) \to (\sqrt{2}, \sqrt{2}), &\text{ for }x \notin \mathbb{Q}\\ (x,y) \to (\sqrt{2}, y ) \to (\sqrt{2}, \sqrt{2}), &\text{ for }x \in \mathbb{Q}, y \notin \mathbb{Q} \end{casos}$$

Cualquiera de los dos puntos en $X$ pueden ser conectados por una poligonal ruta de acceso al unir sus caminos a $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ y, por tanto, $X$ es la ruta de acceso conectado.

Actualización

En otra respuesta, hay una interesante declaración:

Y $\mathbb{R}^2\setminus A$ donde $A$ es contable es siempre camino conectado.

Permítanme darles una prueba de esta declaración y, por tanto, una alternativa a prueba para esta pregunta.

Para cualquier $\vec{x}_1 \in \mathbb{R}^2 \setminus A$, considere la siguiente colección de vectores unitarios:

$$X_1 = \left\{ \pm \frac{\vec{y} - \vec{x}_1}{|\vec{y} - \vec{x}_1|} : \vec{y} \in A\right\} \subset S^{1}$$

Desde $A$ es contable, por lo que no $X_1$. Esto significa $S^{1} \setminus X_1 \ne \emptyset$. De hecho, $S^{1} \setminus X_1$ es incontable. Elija cualquier vector unitario $\vec{n}_1$ de $S^{1} \setminus X_1$ y la construcción de una línea de $l_1$ pasando a través de $\vec{x}_1$ en la dirección de $\vec{n}_1$:

$$l_1 = \left\{ \vec{x}_1 + t \vec{n}_1 : t \in \mathbb{R} \right\}$$

Por construcción, es evidente $\vec{x}_1 \in l_1 \subset \mathbb{R}^2 \setminus A$.

Por otro $\vec{x}_2 \in \mathbb{R}^2 \setminus A$, un argumento similar nos permiten construir otro conjunto de vectores unitarios $X_2$, de la unidad de vectores $\vec{n}_2$ y la línea de $l_2$ tal que $\vec{x}_2 \in l_2 \subset \mathbb{R}^2 \setminus A$. Además, desde el $S^2 \setminus ( X_1 \cup X_2 )$ es infinito, podemos elegir un $\vec{n}_2$ no en el sentido de $\pm \vec{n}_1$.

Bajo esta restricción, $l_1 \not\parallel l_2$ y se cruzan en algún punto de $\vec{y} \in \mathbb{R}^2 \setminus A$. El polígono camino de $\vec{x}_1 \to \vec{y} \to \vec{x}_2$ se encuentra completamente fuera de $A$ y, por tanto, $\mathbb{R}^2 \setminus A$ es la ruta de acceso conectado.

Actualización 2

Resulta que esta pregunta se ha preguntado y respondido antes. Una forma mucho más simple argumento para la declaración puede encontrarse en JDH la respuesta allí. La idea básica es lo que TonyK dado en el comentario de abajo y lo que está en Seirios respuesta.

Answer 2

Deberá usar el hecho de que$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ es contable. Y$\mathbb{R}^{2}\setminus A$ donde$A$ es contable siempre está conectado a la ruta$\implies$ conectado.

Answer 3

Se puede mostrar fácilmente que $S=\Bbb R\times\Bbb R\setminus\Bbb Q\times\Bbb Q$ es pathwise conectado, que es más fuerte que el de la conectividad. Fijar un número irracional $\alpha$; es suficiente con que uno de conectar cualquier punto de la $S$ por un camino de $S$ a $(\alpha,\alpha)$. Si $(x,y)\in S$ con $x$ irracional, hacer una trayectoria en línea recta de $(x,y)$ a $(x,\alpha)$ y, a continuación, a partir de ahí directamente a $(\alpha,\alpha)$. Si $x$ es racional, a continuación, $y$ debe ser irracional, y un camino similar de $(x,y)$ a $(\alpha,y)$ y, a continuación, a $(\alpha,\alpha)$ obras.

Answer 4

En realidad, esto parece ser cierto para cualquier subconjunto$S\subsetneq \mathbb{R}$.

Sugerencia: ¿Puede conectar dos puntos$(x_1,y_1)\in\mathbb{R}^2\setminus (S\times S)$ y$(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2\setminus (S\times S)$ por una ruta?

Answer 5

Dejar $x,y \in \mathbb{R}^2 \backslash \mathbb{Q}^2$. Hay innumerables rutas desunidas entre$x$ y$y$ en$\mathbb{R}^2$ (puede exhibir tal familia). Por lo tanto, encuentras la conexión del camino por la cardinalidad.