Diagonalización ortogonal simultánea de dos matrices

Question

Dejemos que $A=\begin{pmatrix} 1 & -2\\ -2 & 5 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} -3 & 6\\ 6 & -10 \end{pmatrix}$ . Obviamente $A$ es positivo-definido y por lo tanto podemos diagonalizar simultáneamente $A$ y $B$ . Es fácil comprobar que $P=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ es invertible y diagonaliza $A$ y $B$ tal que $P^t A P=I$ y $P^t B P=\text{diag}(-3,2)$ . Pero, ¿hay una ortogonal matriz $Q$ tal que $Q^t A Q$ y $Q^t B Q$ ¿son diagonales? ¿Cómo puedo determinar si existe tal matriz?

Answer 1

La congruencia simultánea a través de una matriz ortogonal implica en particular la diagonalización ortogonal simultánea y en particular, la diagonalización simultánea. Supongamos que existe una matriz ortogonal $Q$ tal que $Q^tAQ = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2)$ y $Q^tBQ = \mathrm{diag}(\mu_1, \mu_2)$ . Desde $Q^t = Q^{-1}$ Debemos tener que $\lambda_1,\lambda_2$ son los valores propios de $A$ y las columnas de $Q$ son una base ortonormal de vectores propios (con respecto al producto interior estándar sobre $\mathbb{R}^2$ ) de $A$ correspondiente a $\lambda_i$ . De la misma manera, $\mu_1,\mu_2$ son los valores propios de $B$ y las columnas de $Q$ debe formar una base ortonormal de vectores propios de $B$ correspondiente a $\mu_i$ . Las matrices $A$ y $B$ serán simultáneamente congruentes con matrices diagonales a través de una matriz ortogonal si y sólo si se puede encontrar una base ortonormal de $\mathbb{R}^2$ que consiste en vectores propios ambos de $A$ y $B$ .

El polinomio característico de $A$ es $\chi_A(t) = t^2 - 6t + 9$ y así $\{\lambda_1, \lambda_2 \} = \{3 - 2\sqrt{2}, 3 + 2\sqrt{2}\}$ . Los eigenspaces correspondientes son

$$ V_{3 - 2\sqrt{2}} = \mathrm{span}\{(1 + \sqrt{2}, 1)^t\}, V_{3 + 2\sqrt{2}} = \mathrm{span}\{(1 - \sqrt{2}, 1)^t\}$$ .

Desde

$$ \begin{pmatrix} -3 & 6\\ 6 & -10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 + \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 6\sqrt{2} \\ -4 + 6\sqrt{2} \end{pmatrix} \neq (-4 + 6\sqrt{2}) \begin{pmatrix} 1 + \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}$$

vemos que un vector propio de $A$ no será un vector propio de $B$ y, por lo tanto, es imposible la congruencia simultánea a través de una matriz ortogonal.

Alternativamente, se puede demostrar que dos matrices reales simétricas son ortogonalmente diagonalizables simultáneamente si y sólo si conmutan. Como $AB \neq BA$ Esto demuestra que $A$ y $B$ no pueden ser diagonalizados simultáneamente.