Encuentra el máximo y el mínimo de$\sum \limits_{i=1}^n x_i ^3$

Question

Sea$x_1,x_2, \dots ,x_n$ una secuencia de enteros tal que

$i) -1\le x_i\le 2$ para $i=1,2,\dots,n$

$ii)x_1+x_2+\dots+x_n=19$

$iii){x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2=99$

Determine los valores mínimo y máximo de$\sum \limits_{i=1}^n x_i^3$

Intenté usar la desigualdad de Cauchy-Scwarz, y algunas otras, pero parece algo difícil. Creo que me estoy perdiendo algo.

Answer 1

Un enfoque simple sería simplemente contar los números de$x_i$ tomando los valores$-1$,$1$ y$2$. Indique estos números por$a$,$b$ y$c$, respectivamente. Luego tenemos \begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^nx_i &=&-1\times a+1\times b+2\times c &=& 19,\\ \sum_{i=1}^nx_i^2 &=&\ \quad1\times a+1\times b+4\times c &=& 99. \end {eqnarray *} Esto muestra que$a+c=40$, así que$c=40-a$ y$b=3a-61$. Luego \begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^nx_i^3&=&-1\times a+1\times b+8\times c=-a+(3a-61)+8(40-a)=259-6a,\\ \end {eqnarray *} donde, por supuesto,$21\leq a\leq40$ porque$b,c\geq0$, lo que muestra que tenemos límites definidos$$19\leq\sum_{i=1}^nx_i^3\leq133.$ $