¿Definición alternativa de la determinante de una matriz cuadrada y sus ventajas?

Question

Generalmente, la definición del determinante de una $n\times n$ matriz $A=(a_{ij})$ es el siguiente:

$$\det(A):=\sum_{\sigma\in S_n}\text{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i,\sigma(i)}.$$

En Gilbert Strang del Álgebra Lineal y Su Aplicación, el autor señala que puede ser entendida como el volumen de una caja en $n$espacio tridimensional. Sin embargo, me pregunto si puede ser definida de esta manera.

Aquí están mis preguntas:

• [EDITAR: Puede el determinante se define como el volumen de una caja en $n$espacio tridimensional?]
• Existen otras definiciones del determinante de una matriz cuadrada?
• ¿Qué es el "ventajas" de la definición diferente? [EDITAR: Por ejemplo, como Qiaochu dijo en el comentario, ¿es fácil demostrar que $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ con esa definición?]

Answer 1

La mayoría de las propiedades de los determinantes siga más o menos inmediatamente cuando se utiliza la siguiente definición.

Si $f:V\to V$ es un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita $n$ $\Lambda^nV$ $n$th potencia exterior de $V$, entonces no es un inducido de morfismos $\Lambda^n(f):\Lambda^nV\to\Lambda^nV$. Ahora $\Lambda^nV$ es un unidimensional de espacio vectorial, por lo que existe un isomorfismo canónico de $k$-álgebras $\operatorname{End}(\Lambda^nV)\cong k$. La imagen del mapa de $\Lambda^n(f)\in\operatorname{End}(\Lambda^nV)$ $k$ bajo este isomorfismo es el determinante de a $f$.

Si uno quiere definir el determinante de una matriz de $A\in M_n(k)$, entonces se considera el correspondiente mapa de $k^n\to k^n$ determinado por $A$, y se procede como el anterior.

Por supuesto, en este enfoque, se tiene que demostrar las propiedades de exterior poderes y mapas inducida en ellos-pero esto no es ni conceptual ni prácticamente complicado.

Answer 2

Puede definir el determinante para ser firmado suma de los pesos de la no-caminos se cruzan en un gráfico entre "origen" vértices $a_1,\ldots,a_n$ y "receptor" de los vértices $b_1,\ldots,b_n$. Ver Qiaochu entrada en el blog. El $(i,j)$ las entradas de la matriz son las sumas de los pesos de todas las rutas de$a_i$$b_j$.

Esta definición es agradable porque es totalmente combinatoria, y se hace claro por qué determinantes deben ser pertinentes a las matemáticas y a la física. Y que realmente proporciona nuevos puntos de vista en relación a la "algebraica" de las definiciones, creo. También proporciona una agradable avenida probar (y entender correctamente) varios resultados estándar, tales como la de Cauchy--fórmula de Binet, Dodgson condensación de la fórmula, la Desplumadora de relaciones, de Laplace de la expansión y Dodgson condensación de la fórmula. Ver este documento por Fulmek para más detalles.

Answer 3

Yo clasificaría su primero como un simple método para calcular el determinante. Me gustaría llamar a la segunda (Strang) simplemente una propiedad, aunque útiles, de los determinantes. Pero creo que hay una especie de "nivel inferior de la definición de" que es mejor que los demás: el factor determinante es la única función de una matriz cuadrada satisfacer ciertas propiedades (una nota sobre esto).

En particular, si una función es lineal en cada fila de una matriz, es 0 si dos filas son iguales, y es 1 si la matriz es la matriz identidad, entonces es el determinante de la función.

NOTA - Mariano ha subido una mejor respuesta, pero es más básicas (no en el modo elemental, sino en el que Se necesita Mucho Más Matemáticas Manera, así que puedo mantener mi respuesta como es).

Answer 4

Quiero destacar que en la discusión siguiente $V$ denota un complejo espacio vectorial y $T$ indica la presencia de un operador en $V$.

Definición: Dejar $T$ ser un operador de referencia en $V$ y elegir una base de $V$ tal que la matriz de $T$ (con respecto a esta base) es triangular superior. Si $\lambda$ es un número complejo, entonces la multiplicidad de $\lambda$ como un autovalor de a $T$ se define como el número de veces que se $\lambda$ se produce en la diagonal de la matriz de $T$.

Ejercicio 1: En este ejercicio, vamos a probar que la multiplicidad de un complejo número de $\lambda$ $T$ como un autovalor de a $T$ está bien definido. En primer lugar, demostrar el siguiente resultado:

Si $\lambda$ es un número complejo y si ${\cal B}$ es una base de $V$ tal que la matriz de $T$ (con respecto al ${\cal B}$) es superior triangular, entonces el número de veces que $\lambda$ se produce en la diagonal de la matriz de $T$ es igual a $\text{null}(T-\lambda I)^{\dim{V}}$.

Deducir que el número de veces que $\lambda$ se produce en la diagonal de una triangular superior de la matriz de $T$ no depende de la base con respecto a la cual se $T$ tiene una triangular superior de la matriz. Por lo tanto, la multiplicidad de un complejo número de $\lambda$ como un autovalor de a $T$ está bien definido.

Ejercicio 2: Demostrar que la suma de las multiplicidades de los autovalores de a $T$ es igual a la dimensión del espacio vectorial $V$ que $T$ opera.

Definición: Dejar $T$ ser un operador en un complejo espacio vectorial $V$. El determinante de a $T$ se define como el producto de los valores propios de a $T$ (teniendo en cuenta la multiplicidad).

Ejercicio 3: Demostrar que un operador $T$ es invertible si y sólo si el determinante de a $T$ (como se define más arriba) es distinto de cero.

Ahora vamos a probar que el determinante de a $T$ como un operador es igual al determinante de una matriz de $T$ (con respecto a cualquier base de $V$).

Ejercicio 4: Probar que si $T$ tiene una triangular superior de la matriz con respecto a una base de $V$, entonces el determinante de a $T$ es igual al producto de las entradas de la diagonal de esta matriz. Deducir que el determinante de a $T$ es igual al determinante de esta matriz.

Ejercicio 5: Probar que si $A$ es la matriz de $T$ con respecto a una determinada base de $V$ e si $B$ es la matriz de $T$ con respecto a otra base de la $V$, entonces existe una matriz invertible $C$ tal que $C^{-1}AC=B$.

Ejercicio 6: Probar que si $A$ $B$ $n\times n$ matrices cuadradas, entonces $\det{AB}=\det{A}\det{B}=\det{BA}$.

Ejercicio 7: Probar que si $A$ es la matriz de $T$ con respecto a una determinada base de $V$ e si $B$ es la matriz de $T$ con respecto a otra base de la $V$, $\det{A}=\det{B}$ como matrices.

Ejercicio 8: por último, demostrar que si $A$ es una matriz de $T$ con respecto a cualquier base de $V$, entonces el determinante de a $T$ como un operador es igual al determinante de la matriz $A$, es decir, el producto de los valores propios de a $T$ (contando multiplicidad) es igual al determinante de la matriz $A$.

Ahora vamos a probar el famoso Cayley-Hamilton teorema:

Definición: Si $T$ es un operador $V$ si $n=\dim{V}$, y si $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ son los autovalores de a $T$ (contando multiplicidad), podemos definir el polinomio característico de a $T$ por la regla de $p(z)=(z-\lambda_1)\cdots (z-\lambda_n)$ si $z$ es un número complejo.

Ejercicio 9: Demostrar que $p(T)=0$ donde $p$ es el polinomio característico de a $T$. (Sugerencia: elija una base de $V$ con respecto a la cual se $T$ tiene una triangular superior de la matriz.)

Ejercicio 10: Si $p$ es el polinomio característico de a $T$, demuestran que, a $p(z)=\det{(zI-T)}$ para todos los números complejos $z$. (Sugerencia: probar que los autovalores de a $zI-T$ son precisamente los números de la forma $z-\lambda$ donde $\lambda$ es un autovalor de a $T$. Por otra parte, demostrar que la multiplicidad de $z-\lambda$ como un autovalor de a $zI-T$ es igual a la multiplicidad de $\lambda$ como un autovalor de a $T$. El uso de Ejercicios 3 y la definición del polinomio característico de arriba.)

Espero que esto ayude! (Por favor vea el Álgebra Lineal se Hace bien por Sheldon Axler para una más elaborada discusión de la determinante a lo largo de las mismas líneas como mi respuesta.)

Answer 5

Dado un espacio vectorial $V$ de la dimensión de $n$, uno puede demostrar que no hay un único (hasta un factor de normalización) no trivial alternando $n$ forma $$F:V\times\cdots\times V\longrightarrow{\Bbb R}\qquad\hbox{$n$ factores}$$ (Estoy fingiendo que $V$ es un espacio vectorial real, pero en realidad, el resultado es más general). Alternando significa que para una permutación $\pi\in{\cal S}_n$ uno debe tener $$F(v_{\pi(1)},\ldots,v_{\pi(n)})={\rm signo}(\pi)F(v_1,\ldots,v_n)$$ para todos los $(v_1,...,v_n)\in V^n$. Si usted fija una base $\{e_1\ldots,e_n\}$$V$, se puede elegir el factor de normalización, al declarar que $F(e_1\ldots,e_n)=1$. A continuación, $F$ es exactamente el determinante.

Además, si usted dotar $V$ con una norma euclídea tal que el fijo de base es una base ortonormales, el valor de $F(v_1,\ldots,v_n)$ es, precisamente, el firmado volumen de la parallelotope definido por la orden de $n$-ple $v_1,\ldots,v_n$.