Aplicación del teorema de Runge.

Question

Runge del teorema de los estados:

Deje $K$ ser un subconjunto compacto de $\mathbb C$ y deje $S\subset \overline{\mathbb C}\setminus K$, de tal manera que $S$ contiene al menos un punto en cada componente de $\overline{\mathbb C}\setminus K$. Entonces cualquier función de holomorphic en un conjunto abierto que contiene $K$ puede ser de manera uniforme aproximada por una función racional cuyo polos encuentran en $S$.

Quiero resolver el siguiente ejercicio:

Demostrar que existe una secuencia $\{p_k\}_{k=1}^\infty $ de polinomios de tal forma que : $$\lim\limits_{k\rightarrow \infty }p_k(z)=\begin{cases}1 &,Re(z)>0\\0&,Re(z)=0\\-1&,Re(z)<0\end{cases}$$

Creo que debemos encontrar una secuencia de holomorphic funciones que converge a la función deseada, y luego aproximado de cada función en la secuencia de un polinomio ( que fue su pol $\infty $ , por lo tanto, los métodos de Runge del teorema se aplica) . Todas las sugerencias se agradece. Tal vez intente algo más?

Answer 1

Dejar $U_n = \{z: n \geq Re(z) \geq \frac{1}{n}, |Im(z)| \leq n\}$, $V_n = \{z: -n \leq Re(z) \leq \frac{-1}{n}, |Im(z)| \leq n\}$. Deje que$f_n: U_n \cup V_n \cup [-in, in] \to \mathbb{C}$ se defina como$f_n(z) = 1$ para$z \in U_n$,$f_n(z) = 0$ para$z \in [-in, in]$,$f_n(z) = -1$ para$z \in V_n$. $f_n$ es holomorpic, y$K_n = U_n \cup V_n \cup [-in, in]$ es un subconjunto compacto de un plano complejo, y$\bar{\mathbb{C}} - K_n$ tiene solo un componente, así que si tomamos$S = \{\infty\}$, hay una función racional$p_n$ que solo tiene polos en$S$, tal que$\sup_{z \in K_n} |f_n(z) - p_n(z)| < \frac{1}{n}$. Como$p_n$ solo tiene polo en el infinito, es un polinomio. Es fácil ver que la secuencia$p_n$ cumple con los requisitos, porque cada$z \in \mathbb{C}$ está en$K_n$ para todos$n$ a partir de algunos$n_0$.