Considere la posibilidad de que el operador $L:L^1(S^1)\to L^1(S^1)$ dada por $$ (Tf)(x)=\dfrac{1}{2}\left( f\left( \dfrac{x}{2}\mod 1\right)+f\left( \dfrac{x+1}{2} \mod 1 \right) \right) $$ donde se identificaron $S^1$ con $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. Lo que es posible decir sobre el espectro de $L$? Sé que debería estar incluido en el disco de radio $1$, y claramente $1$ es un autovalor asociado a la función constante igual a $1$. También sé que la acción de la $T$ restringido a la más suave de las funciones de los espacios de Lipschitz) ha esenciales espectral de radio estrictamente menor que $1$, pero me gustaría para determinar el espectro cuando actúa en $L^1$. Tengo la idea de que todo el disco debe estar contenida en el espectro, pero no podía demostrarlo. Gracias de antemano.
Respuesta
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Vamos a intentar encontrar una eigenfunction para un determinado $|\lambda|< 1$: queremos una $f$ que resuelve $$ f\left( \frac{x+1}{2}\right) = 2\lambda f(x)- f(x/2) . \quad\quad\quad\quad (1) $$ Empezar con un arbitrario (integrables) de la función en $(0,1/2)$, entonces el uso de (1) por $0<x<1/2$ definir $f(t)$ para $1/2<t<3/4$, a continuación, vuelva a escribir (1), con $1/2<x<3/4$ encontrar $f(t)$ a $3/4<t<7/8$ etc.
Debemos comprobar que esta función es integrable (y aquí es donde usamos ese $|\lambda|< 1$). Esto es sencillo, pero ligeramente tedioso de escribir. Escribir $I_0=(0,1/2)$, $I_1=(1/2,3/4)$, y abreviar $q=|\lambda|$. Sustituyendo $t=(x+1)/2$ y el uso de (1), nos encontramos con que $$ \|f\|_{I_1} \le q\|f\|_{I_0} + \|f\|_{(0,1/4)} . $$ A continuación, sólo seguir en este estilo. Deje $I_2=(3/4,7/8)$. Entonces $$ \|f\|_{I_2} \le q \|f\|_{I_1} +\|f\|_{(1/4,3/8)}\le p^2\|f\|_{I_0} +q\|f\|_{(0,1/4)} + \|f\|_{(1/4,3/8)} , $$ así $$ \|f\|_{I_1\copa I_2}\le (p^2+q)\|f\|_{I_0} + (q+1)\|f\|_{(0,1/4)} + \|f\|_{(1/4,3/8)} . $$ Ahora podemos ver el patrón general: vamos a obtener una descomposición de la $(0,1/2)$ y a lo largo del tiempo, la norma sobre cada intervalo se obtiene multiplicado por una suma geométrica. Podemos sintetizar estas series geométricas y las normas sobre los distintos integrales para producir un determinado límite en $\|f\|$.
De ello se desprende que el espectro es igual a la cerrada de la unidad de disco, como se reivindica.
