Matriz equivalente a mapas lineales - control de cordura

Question

Estoy leyendo algunos de álgebra Lineal notas que he encontrado en internet, y estoy un poco confundido acerca de lo siguiente:

Si $U,V$ son finito dimensionales $\mathbb{C}$-espacios con bases de $(\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_m)$ e $(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n)$, entonces existe una correspondencia:

$$\mathrm{M}_{n\times m}(\mathbb{C})\longleftrightarrow \mathcal{L}(U,V);\;\;A\longleftrightarrow \alpha\;\text{where}\;\alpha(\mathbf{u}_i)=\sum_j A_{ji}\mathbf{v}_j$$

1. Estoy confundido acerca de la definición de $\alpha$. ¿Por qué es $\mathbf{u}_i$ ser enviado a $\left(\mathbf{v}^{\text{T}}\cdot A^{\text{T}}\right)_i?$ (Si estoy leyendo ese derecho que es). ¿Por qué es $\alpha$ actuando en $\mathbf{u}$ no el mismo que $A$ actuando en $\mathbf{u}$ es decir, por lo $\left(A\cdot\mathbf{u}\right)_i$ lugar?

Del mismo modo que se dice que si $\alpha$ está representado por $A$ w.r.t. bases de $\{\mathbf{u}_i\},\{\mathbf{v}_j\}$ e $\tilde A$ w.r.t. bases de $\{ \mathbf{\tilde u}_i\},\{\mathbf{\tilde v}_j\}$ donde $\mathbf{\tilde u}_i=\sum_k P_{ki}\mathbf{u}_k$ e $\mathbf{\tilde v}_j=\sum_k Q_{kj}\mathbf{v}_k$, entonces: $$\tilde A=Q^{-1}AP$$

2. De nuevo se siente como que las cosas son al revés. Para mí se parece a $P$ es de $\{\mathbf{u}_i\}\to\{\mathbf{\tilde u}_i\}$ e $Q$ es de $\{\mathbf{v}_i\}\to\{\mathbf{\tilde v}_i\}$ (ambos en un extraño transpose/vector fila) pero entonces la expresión anterior se desprende lo contrario.

Comprendo que esto es muy básico, pero estoy teniendo un cerebro-congelación de momento aquí.

Answer 1

Elija bases de vectores $(\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_m)$ e $(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n)$, entonces el lineal mapa será completamente determinado por el lugar donde se asigna a cada una de las $\mathbf{u}_i$ a. Esto puede ser escrita en forma matricial: $$\alpha(\mathbf{u}_1 \mathbf{u}_2 \cdots \mathbf{u}_m)=(\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_2 \cdots \mathbf{v}_n) \left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & A_{13} & \cdots & A_{1m} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & \cdots & A_{2m} \\ \vdots & \vdots & \vdots &\cdots &\vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & A_{n3} &\cdots & A_{nm}\end{array}\right)$$

Ahora general de vectores puede ser escrito como $$\mathbf{u}=X_1\mathbf{u}_1+X_2\mathbf{u}_2+\cdots+X_m\mathbf{u}_m=(\mathbf{u}_1 \mathbf{u}_2\cdots\mathbf{u}_m)\left(\begin{array}{c} X_1\\X_2\\\vdots\\X_m\end{array}\right)$$ $$\mathbf{v}=Y_1\mathbf{v}_1+Y_2\mathbf{v}_2+\cdots+Y_n\mathbf{v}_n=(\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_2\cdots\mathbf{v}_n)\left(\begin{array}{c} Y_1\\Y_2\\\vdots\\Y_n\end{array}\right)$$ Después de elegir una base, los vectores pueden ser identificados con los vectores columna de $\mathbb{F}^m$ e $\mathbb{F}^n$.

Ahora, por la linealidad $$\alpha(\mathbf{u})=\alpha\left[(\mathbf{u}_1 \mathbf{u}_2\cdots\mathbf{u}_m)\left(\begin{array}{c} X_1\\X_2\\\vdots\\X_m\end{array}\right)\right]$$ $$=(\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_2 \cdots \mathbf{v}_n) \left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & A_{13} & \cdots & A_{1m} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & \cdots & A_{2m} \\ \vdots & \vdots & \vdots &\cdots &\vdots \\ A_{n1} & A_{n_2} & A_{n3} &\cdots & A_{nm}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} X_1\\X_2\\\vdots\\X_m\end{array}\right)$$ $$=(\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_2\cdots\mathbf{v}_n)\left(\begin{array}{c} Y_1\\Y_2\\\vdots\\Y_n\end{array}\right)$$ Por lo tanto $$\left(\begin{array}{c} Y_1\\Y_2\\\vdots\\Y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & A_{13} & \cdots & A_{1m} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & \cdots & A_{2m} \\ \vdots & \vdots & \vdots &\cdots &\vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & A_{n3} &\cdots & A_{nm}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} X_1\\X_2\\\vdots\\X_m\end{array}\right)$$ Esto significa $\alpha$ puede ser representado por una lineal mapa de $\mathbb{F}^m$ a $\mathbb{F}^n$ por encima de la multiplicación de la matriz.

Ahora, si el cambio de base a $$(\tilde{\mathbf{u}}_1 \tilde{\mathbf{u}}_2 \cdots \tilde{\mathbf{u}}_m)=(\mathbf{u}_1 \mathbf{u}_2 \cdots \mathbf{u}_m)\left(\begin{array}{cccc} P_{11} & P_{12} & P_{13} & \cdots & P_{1m} \\ P_{21} & P_{22} & P_{23} & \cdots & P_{2m} \\ \vdots & \vdots & \vdots &\cdots &\vdots \\ P_{m1} & P_{m2} & P_{m3} &\cdots & P_{mm}\end{array}\right)$$ $$(\tilde{\mathbf{v}}_1 \tilde{\mathbf{v}}_2 \cdots \tilde{\mathbf{v}}_n)=(\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_2 \cdots \mathbf{v}_n)\left(\begin{array}{cccc} Q_{11} & Q_{12} & Q_{13} & \cdots & Q_{1n} \\ Q_{21} & Q_{22} & Q_{23} & \cdots & Q_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots &\cdots &\vdots \\ Q_{n1} & Q_{n2} & Q_{n3} &\cdots & Q_{nn}\end{array}\right)$$ Entonces $$\mathbf{u}=(\mathbf{u}_1 \mathbf{u}_2\cdots\mathbf{u}_m)\left(\begin{array}{c} X_1\\X_2\\\vdots\\X_m\end{array}\right)=(\tilde{\mathbf{u}}_1 \tilde{\mathbf{u}}_2 \cdots \tilde{\mathbf{u}}_m)P^{-1}\left(\begin{array}{c} X_1\\X_2\\\vdots\\X_m\end{array}\right)=(\tilde{\mathbf{u}}_1 \tilde{\mathbf{u}}_2 \cdots \tilde{\mathbf{u}}_m)\left(\begin{array}{c} \tilde{X}_1\\\tilde{X}_2\\\vdots\\\tilde{X}_m\end{array}\right)$$ Por lo tanto $$\left(\begin{array}{c} \tilde{X}_1\\\tilde{X}_2\\\vdots\\\tilde{X}_m\end{array}\right)=P^{-1}\left(\begin{array}{c} X_1\\X_2\\\vdots\\X_m\end{array}\right)$$ Del mismo modo, $$\left(\begin{array}{c} \tilde{Y}_1\\\tilde{Y}_2\\\vdots\\\tilde{Y}_n\end{array}\right)=Q^{-1}\left(\begin{array}{c} Y_1\\Y_2\\\vdots\\Y_n\end{array}\right)$$

En la nueva base, $\alpha$ está determinado por $$\alpha(\tilde{\mathbf{u}}_1 \tilde{\mathbf{u}}_2 \cdots \tilde{\mathbf{u}}_m)=(\tilde{\mathbf{v}}_1 \tilde{\mathbf{v}}_2 \cdots \tilde{\mathbf{v}}_n) \left(\begin{array}{cccc} \tilde{A}_{11} & \tilde{A}_{12} & \tilde{A}_{13} & \cdots & \tilde{A}_{1m} \\ \tilde{A}_{21} & \tilde{A}_{22} & \tilde{A}_{23} & \cdots & \tilde{A}_{2m} \\ \vdots & \vdots & \vdots &\cdots &\vdots \\ \tilde{A}_{n1} & \tilde{A}_{n2} & \tilde{A}_{n3} &\cdots & \tilde{A}_{nm}\end{array}\right)$$ Por lo tanto, tenemos $$\alpha\left((\mathbf{u}_1 \mathbf{u}_2 \cdots \mathbf{u}_m)P\right)=(\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_2 \cdots \mathbf{v}_n)Q\tilde{A}$$ $$\alpha(\mathbf{u}_1 \mathbf{u}_2 \cdots \mathbf{u}_m)P=(\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_2 \cdots \mathbf{v}_n)Q\tilde{A}$$ $$\alpha(\mathbf{u}_1 \mathbf{u}_2 \cdots \mathbf{u}_m)=(\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_2 \cdots \mathbf{v}_n)Q\tilde{A}P^{-1}$$ Por lo tanto, $$A=Q\tilde{A}P^{-1}$$ o $$\tilde{A}=Q^{-1}AP$$

Answer 2

Este sistema utiliza vectores de fila$u = (u_1, \dotsc, u_n)$. Luego las definiciones se ven un poco diferentes a las de los vectores de columna$u = (u_1, \dotsc, u_n)^T$, por ejemplo, $$ x A = y $$ en lugar de $$ A x = y $$