Desigualdad curiosa

Question

Recientemente intentaba jugar con desigualdades medias y desigualdad de Jensen. Mi pregunta es si la siguiente relación se mantiene para cualquier número real positivo$a$ y$b$$$(1+a)(1+a+b)\geq\sqrt{27ab}$$and if it does, then how to prove it. By AM-GM inequality we could obtain $ 1 + a \ geq \ sqrt {4a}$ and $ 1 + a + b \ geq \ sqrt [3] {27ab}$, so by putting this together we obtain$$(1+a)(1+a+b)\geq\sqrt{4a}\sqrt[3]{27ab},$$but this is slightly different from what I wanted. It's probably true that for all positive $ a$ and $ b$ there is $ \ sqrt {4a} \ sqrt [ 3] {27ab} \ geq \ sqrt {27ab} $, pero ¿podría haber igualdad?

Muchas gracias.

Answer 1

Use AM-GM: $$ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} + a \ ge3 \ sqrt [3] {\ frac {a} {4}} \\ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} + a + \ frac {b} {3} + \ frac {b} {3} + \ frac {b} {3} \ ge6 \ sqrt [6] {\ frac {ab ^ 3} {108}} \\\ por lo tanto (1 + a) (1 + a + b) \ ge \ left (3 \ sqrt [3] {\ frac {a} {4}} \ right) \ izquierda (6 \ sqrt [6] {\ frac {ab ^ 3} {108}} \ right) = \ sqrt {27ab} $$

Igualdad se mantiene iff$\frac{1}{2}=a=\frac{b}{3}$.

Answer 2

La función de dos variables definida en$[0,+\infty)^2$ $$ f (x, y) = (1 + x) (1 + x + y) - \ sqrt {27xy} $$ tiene un mínimo de$0$ en$P_0=\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$.

Revisemos las fronteras del dominio. Tenemos $$ f (x, 0) = (1 + x) ^ 2> 0 \\ f (0, y) = 1 + y> 0 $$ además $$ \ lim_ {x \ to + \ infty} f ( x, y) = + \ infty \ quad \ forall y> 0 \\ \ lim_ {y \ to + \ infty} f (x, y) = + \ infty \ quad \ forall x> 0 $$ podemos concluir que la desigualdad se cumple estrictamente en todo el dominio, con la excepción de$P_0$, donde se mantiene el signo igual.

Answer 3

Probablemente sea cierto que para todos los$a$ y$b$ positivos hay$\sqrt{4a}\sqrt[3]{27ab}\geq\sqrt{27ab}$

Como estas cantidades son todas positivas, eleva ambos lados a la sexta potencia. Por lo tanto, la desigualdad dada es equivalente a$$4^3a^327^2a^2b^2\ge 27^3a^3b^3$ $ que a su vez es equivalente a$$4^3a^2\ge 27 b$ $

Lamentablemente, esto no tiene por qué ser cierto.

Answer 4

Podemos comenzar homogeneizando la desigualdad con la desigualdad equivalente.

PS

con$$(c+a)(c+a+b)\ge\sqrt{27abc^2}$, que luego se puede volver a escribir como

PS

con y $a,b,c\gt0$. Es fácil ver que, para cualquier% fijo$$s(s+b)\ge\sqrt{27bc^2(s-c)}$, el% cúbico $b,s\gt0$, que es$0\lt c\lt s$ en$s\gt0$ y$c^2(s-c)$, tiene un máximo en$0$, y por lo tanto

PS

como se desee.