Como Zhen Lin dijo en los comentarios, hay un argumento general que responde a sus problemas.
Denotar $\omega$ para la categoría de finito de los números ordinales con el conjunto de funciones entre ellos.
Definición 1. Un Lawvere teoría es finita-producto-la preservación de bijective-en-objetos functor $\ell \colon \omega^\circ \to \mathcal T$.
Una de morfismos $f$ desde el Lawvere teoría de la $\ell_1 \colon \omega^\circ \to \mathcal T_1$ a la Lawvere teoría de la $\ell_2 \colon \omega^\circ \to \mathcal T_2$ es un finito-producto-preservar el functor $f \colon \mathcal T_1 \to \mathcal T_2$ tal que $f \circ \ell_1 = \ell_2$.
Definición 2. Un modelo para la Lawvere teoría de la $\ell \colon \omega^\circ \to \mathcal T$ es un finito-producto-preservar el functor $\mathcal T \to \mathsf{Set}$. Junto con los naturales de las transformaciones de los modelos de formulario de una categoría $\operatorname{Mod}(\ell)$.
Ahora, si $f$ es una de morfismos de $\ell_1$ a $\ell_2$, uno tiene una restricción functor de los modelos de $\ell_2$ a los modelos de $\ell_1$:
$$ \operatorname{Mod}(\ell_2) \a \operatorname{Mod}(\ell_1), \quad
M \mapsto M\circ f $$
Hecho. Deje $\mathcal A,B$ ser pequeño categorías con finito de productos y $j \colon \mathcal A \to \mathcal B$ un functor entre ellos. Si $F \colon \mathcal A \to \mathsf{Set}$ es finito-producto-la conservación, entonces también lo es su izquierda kan extensión de $j_!F \colon \mathcal B \to \mathsf{Set}$.
Por lo tanto, la restricción functor descrito anteriormente admite un adjunto a la izquierda
$$ \operatorname{Mod}(\ell_1) \a \operatorname{Mod}(\ell_2),\quad
M \mapsto f_!M $$
Si $\ell_1$ es el Lawvere la teoría de álgebras de heyting y $\ell_2$ el de álgebras booleanas, hay un (inclusión) de morfismos $f \colon \ell_1 \to \ell_2$. La restricción functor es sólo el "olvida" functor usted describió. Entonces admite un adjunto a la izquierda, lo que significa que hay un libre functor.
Edit. También, consulte esta sección de la nLab página en Lawvere teorías.
