Evaluar

Question

Demuestre que la siguiente integral es igual a cero evaluando$\oint_c e^{z} dz = 0$ $$\int_{0}^{2\pi} e^{\cos \theta } \cos(\theta + \sin\theta) d\theta = \int_{0}^{2\pi} e^{\cos \theta } \sin(\theta + \sin\theta) d\theta = 0$% $

Creo que esto es equivalente a mostrar$\oint_c e^{z + i \arg (z)} dz = 0$ pero no sé cómo: ((

Answer 1

Dejar $z=e^{i \theta}$, $dz = i e^{i \theta} d\theta$.

PS

Debido a que$$\begin{align}\oint_C dz \: e^z &= i \int_0^{2 \pi} d\theta \: e^{i \theta} e^{e^{i \theta}}\\ &= i \int_0^{2 \pi} d\theta \: e^{i \theta} e^{\cos{\theta} + i \sin{\theta}}\\ &= i \int_0^{2 \pi} d\theta \: e^{\cos{\theta}} (\cos{(\theta+\sin{\theta})} + i \sin{(\theta+\sin{\theta})})\end{align}$ es analítico dentro de la región dentro del contorno$e^z$, la integral es cero. Por lo tanto, las partes reales e imaginarias de esa última integral son cero.