¿Existe una fórmula que generalice $\sin A+\sin B+\sin C = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$ (donde $A+B+C=\pi$ ) a cuatro ángulos?

Question

Si $A+B+C=\pi$ entonces tenemos $$\sin A+\sin B+\sin C = 4\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cos\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{C}{2}\right)$$

Si $A+B+C+D=\pi$ ¿existe una fórmula similar?

Answer 1

Existe este resultado similar: si $\,A + B + C + D = 2\pi\,$ (no $\pi$ ), entonces $$\sin(A) + \sin(B) + \sin(C) + \sin(D) = 4 \sin\Big(\frac{A+B}{2}\Big) \sin\Big(\frac{B+C}{2}\Big) \sin\Big(\frac{C+A}{2}\Big),$$ o, alternativamente, ambos iguales $$-4 \sin\Big(\frac{A+B}{2}\Big) \sin\Big(\frac{A+C}{2}\Big) \sin\Big(\frac{A+D}{2}\Big).$$

El método que utilicé para descubrirlo fue la factorización y la sustitución exponencial. Es decir, dejemos que $\,A := \log(a)/i,\, B := \log(b)/i,\, C := \log(c)/i,\, D := \log(d)/i.\,$ donde $\,d := 1/(a b c).\,$ Los factores del lado izquierdo como $\,i(ab-1)(ac-1)(bc-1)/(2abc).\,$ El $\,(ab-1)\,$ El factor es $\,\sin((A+B)/2)\,$ hasta algunos factores simples, y de forma similar para los otros dos factores.

La identidad original tiene una aplicación geométrica. Si $\,A,B,C\,$ son los tres ángulos de un triángulo, entonces $\,A+B+C=\pi\,$ y la identidad es igualar la suma de los senos de los tres ángulos a cuatro veces el producto de tres cosenos de la mitad de los ángulos. Del mismo modo, si $\,A,B,C,D\,$ son los cuatro ángulos de un cuadrilátero, entonces $\,A + B + C + D = 2\pi\,$ y la nueva identidad es igualar la suma de los senos de los cuatro ángulos a cuatro veces el producto de tres senos de la mitad de la suma de dos ángulos.