Acción derecha contra izquierda

Question

En mi topología algebraica curso hemos estado estudiando cubriendo espacios. Hay dos acciones del grupo en cualquier fibra: el de la izquierda de la acción del grupo de la cubierta de las transformaciones y el derecho de acción del grupo fundamental. Hay varias proposiciones demostrado general sobre el grupo de acciones que posteriormente le será aplicada. En particular,

Deje $X$ ser transitivo izquierda $G$-set. Si un subgrupo $H$ de % de $G$ es el estabilizador de un punto en $X$,, a continuación, $X$ es $G$-isomorfo a la izquierda-coset espacio de $H$, es decir, la recopilación de toda la izquierda-cosets de $H$ donde $G$ actúa en un coset por la izquierda de la traducción.

Aquí está mi pregunta: ¿Cómo puedo convertir esto en una declaración sobre el derecho de las acciones? Es realmente tan simple como el volteo de todas las ocurrencias de "izquierda" a "derecha"?

Aquí está lo que yo sé: Dada una correcta acción de un grupo de $G$ sobre un conjunto $X$, podemos definir a la izquierda de la acción como la $gx := xg^{-1}.$ También, cualquier derecho de acción de $G$ a $X$ da una acción izquierda de $G^{\text{op}}$ a $X$ y cada grupo es isomorfo a su opuesto, a través de la inversión.

La Wiki artículo sobre el grupo de acciones se hace la afirmación de que "...sólo a la izquierda de la acción puede ser considerada sin ninguna pérdida de generalidad." (Hacia la parte inferior de la "Definición" de la sección.) Este vínculo parece insinuar que la justificación de esta afirmación radica en el hecho de que un grupo de $G$ y su contrario son 'naturalmente' isomorfo. El problema es que sólo tengo una vaga idea de lo que esto significa como solo tengo una muy básico conocimiento de trabajo de las categorías de mi topología algebraica libro. A pesar de las "reglas para la traducción' que el último enlace se ofrece son de gran ayuda, yo todavía me siento como que no tengo una muy buena comprensión de lo que está pasando.

Me doy cuenta de lo que estoy buscando es una especie de teorema acerca de teoremas, lo cual es extraño. Pero ¿alguien puede ofrecer algunas ideas? Si es posible, puede alguien explicar qué este isomorfismo natural tiene que ver con nada? Básicamente, es la traducción es realmente así de simple?

Answer 1

Dada una acción a la izquierda$(g,x) \to g.x$ de$G$ en$X$, puede definir una acción a la derecha correspondiente definiendo$(x,g) \to g^{-1}.x$.

Answer 2

El concepto de isomorfismo natural (y de transformaciones naturales en general) es lo que impulsa a la simplicidad de la traducción. Voy a tratar de permanecer la luz o la actualización de la categoría necesaria de la teoría, pero, esencialmente, una transformación natural es una de morfismos de functors. (repaso: functors tomar los elementos a los elementos, morfismos de morfismos, las identidades y las composiciones se conservan son los morfismos de categorías). Con esta maquinaria, el motivador "evidencia" de la traducción se puede dar un acompañamiento riguroso justificación.

Lo siento si esto es un poco pedante, pero la configuración de exactamente lo que el concepto de "una de morfismos de functors" implica, es como bien de un lugar de partida como cualquier otra. Más concretamente, si tengo dos categorías $C$ e $D$, y functors $F$ e $G$ mapa $C$ a $D$ , una transformación natural $\eta:F \rightarrow G$ es una colección de morfismos de modo que para cada objeto $x$ en $C$, tenemos un morfismos $\eta_x: F(x) \rightarrow G(x)$, de modo que toda la colección respeta la composición: es decir, para todos los morfismos $f \in C$ de los que tomaron $x \rightarrow y$, tenemos que el siguiente diagrama conmuta. Lo que esto significa es que para cualquier objeto $x, y \in C$ y un morfismos $f \in C$ entre ellos, tomando camino de $F(x)$ a $G(y)$ va a dar la misma respuesta en $D$.

$\begin{array}{ccccccccc} F(x)& \xrightarrow{F(f)} & F(y) \\ \downarrow{\eta_x} & & \downarrow{\eta_y} & \\ G(x) & \xrightarrow{G(f)} & G(y) \end{array}$

A partir de aquí, un isomorfismo natural se puede definir como una transformación natural con un inversa (izquierda y derecha). Nuestra afirmación acerca de un grupo de $G$ siendo naturalmente isomorfo con su opuesto, el grupo puede ser formulada como una natural isomorfismo entre la identidad functor de Grp para sí mismo, y un "frente functor" de Grp para sí misma que toma elementos a sus inversas y el grupo de homomorphisms a sí mismos. Podemos probar connaturalidad considerando, cuadrado diagramas anteriores, y que muestra que todos ellos deben viaje es una consecuencia de $f(x^{-1})$ = $f(x)^{-1}$ para cualquier grupo de homomorphism $f$ .

Con estos abstracto conjunto de herramientas, podemos entender por qué podemos hablar de izquierda y derecha de acciones sin pérdida de generalidad. La connaturalidad de la relación entre el $G$ e $G^{opp}$ nos dice que nuestra inversión de los viajes con el grupo homomorphisms, incluyendo el cociente de los mapas y la inclusión de mapas (clave para el grupo de acciones en cosets). Gracias a la relativa abstracción de la categoría de la teoría, podemos hablar de cosas como el grupo de acciones en la izquierda-coset espacios y "naturalmente" se refieren a acciones que en derecho-coset espacios exactamente porque estamos seguros de que no vamos a perjudicar a ninguna estructura general invirtiendo.

En mi opinión, un trabajo de conocimiento de álgebra homológica y categoría de la teoría es crucial para obtener una comprensión completa de la topología algebraica - la combinación de la abstracción geométrica razonamiento y la intuición te dará una gran imagen de lo que realmente está pasando.

Answer 3

Sí, simplemente la traducción de esa declaración mediante la inserción de 'derecho' para 'izquierda' cada vez que produce un valor equivalente al resultado correcto. En esencia, no somos diferentes, excepto por una anotación cosa.

Ahora que he dicho que hay ocasiones en las cuales es más conveniente pensar en algo como cualquiera que actúe en la izquierda o en la derecha. A la izquierda acciones son agradables porque se alinean con nuestras ideas de función de la composición. Por ejemplo, si $G$ está actuando en $X$, $g_1g_2 x$ se parece a $g_1 (g_2 (x))$, que lo es. Pero $x g_1 g_2$ parece divertido para mí (a menos que he estado trabajando en una Herstein Álgebra libro, donde muchas veces las funciones de redactar en la izquierda).