¿Qué significa que el trabajo es independiente de la trayectoria cuando se empuja un objeto en diferentes direcciones?

Question

1. Si aplico una fuerza recta hacia arriba (perpendicular al suelo) contra la gravedad de $5\ \mathrm{N}$ y levantar un objeto "A" 10 metros, entonces el trabajo realizado es:

   $$ W = F \times S = 5\ \mathrm{N} \times 10\ \mathrm{m} = 50\ \mathrm{J}$$

2. Pero si aplico la misma cantidad de fuerza en diagonal al suelo, y vuelvo a empujar el objeto "A" 10 metros en la dirección de la fuerza, entonces de nuevo:

   $$ W = F \times S = 5\ \mathrm{N} \times 10\ \mathrm{m} = 50\ \mathrm{J} $$

En los casos 1 y 2, el trabajo realizado es igual, pero la altura sería diferente porque en el caso uno, la altura es igual al desplazamiento, pero en el caso 2 será inferior a 10 metros obviamente. Entonces la energía potencial (es decir mgh) de ambos objetos sería diferente. No entra en conflicto con la ecuación trabajo = energía ?

El trabajo es la fuerza por el desplazamiento ( $W = F S \cos(\theta)$ ); donde $\theta$ es el ángulo entre la dirección de la fuerza y el desplazamiento) y es independiente de la trayectoria, según la mayoría de los libros de texto que he leído hasta ahora.

Answer 1

Empecemos con diferentes escenarios que se podrían analizar. El trabajo es, como dices, el desplazamiento por la fuerza en la dirección del desplazamiento. En el escenario más simple, donde tienes una fuerza no variable y una dirección no variable, esto equivale a $$ W=F\cdot s$$ Si se consideran dos escenarios diferentes, cada uno con un trabajo y una fuerza, se tienen los cálculos $W_1=F_1\cdot s_1$ y $W_2=F_2\cdot s_2$ . Ahora, en principio, podrías elegir los caminos y las fuerzas que quieras, incluso podrías intentar arreglar $W_1$ o $W_2$ y ver qué caminos conducen a esta respuesta. Esto te da una serie de escenarios diferentes que podrías analizar y voy a anotar la mayoría de ellos:

• Fijas el trabajo, consideras dos fuerzas diferentes y luego consideras las trayectorias.
• Se fijan trayectorias y se consideran dos fuerzas diferentes.
• Se fijan las trayectorias y el trabajo realizado y se ve qué fuerzas se pueden aplicar para obtener el trabajo en la trayectoria dada.
• Se fija la fuerza y el trabajo y se ven los diferentes caminos que se pueden tomar.
• Fijas la fuerza y consideras diferentes caminos.
• Se fija la fuerza y se consideran diferentes caminos entre los mismos puntos.

Ejemplos y elaboración:

(Su) escenario: Ahora lo que está haciendo es esencialmente una variante de la primera: Consideras dos fuerzas diferentes, $F_1$ que es ascendente y $F_2$ que es diagonal. Se consideran dos caminos diferentes $s_1$ que es ascendente y $s_2$ que es diagonal. Ahora usted ha diseñado su ejemplo de tal manera que el trabajo en ambos casos ( $F_1$ a lo largo del camino $s_1$ dar trabajo $W_1$ y $F_2$ a lo largo del camino $s_2$ dar trabajo $W_2$ ) es el mismo. Yo llamo a esto "arreglar el trabajo". Ahora bien, ¿qué se aprende con este ejemplo sobre las fuerzas y su funcionamiento? Absolutamente nada.

Este es un escenario físicamente absurdo. ¿Por qué? Cuando se considera el trabajo realizado en diferentes campos de fuerza, no hay absolutamente ninguna razón por la que el trabajo deba ser el mismo - se tienen escenarios completamente diferentes. De hecho, siempre se puede multiplicar una de las fuerzas por algún factor para que los resultados sean diferentes. ¿Otro ejemplo? Bueno, tomemos una fuerza arbitraria $F_1$ . Podría ser un campo, podría ser una fuerza ascendente, lo que sea. Tome un trabajo arbitrario $F_2$ que es notablemente diferente de $F_1$ . Toma dos caminos, pueden ser curvos, cerrados, lo que sea. Llámalos $s_1$ y $s_2$ . Entonces, como has aprendido en las otras respuestas, $W_1=\int F_1\cdot ds_1$ y $W_2=\int F_2\cdot ds_2$ . No hay razón para esperar que $W_1=W_2$ y, de hecho, si elijo al azar los campos y los caminos, esto nunca será así. Sin embargo, siempre puedo multiplicar $F_2$ por $W_1/W_2$ creando una fuerza $\tilde{F}_2=F_2\cdot W_1/W_2$ tal que $\tilde{W}_2=W_1$ . También podría conseguirlo cambiando los caminos. Esto es posible, porque tienes un sistema de ecuaciones subdeterminado - pero no te dice absolutamente nada.

Pero eso no me dice nada, porque es difícil comparar los dos escenarios: Es como decir que si sales a correr por la montaña, tardas lo mismo que si vas a correr al lago. Ah, y por cierto, siempre vas allí en autobús, así que los dos caminos empiezan y terminan en puntos diferentes. Los dos caminos son completamente diferentes y es sólo una coincidencia que tardes el mismo tiempo. Tu tiempo es quizá "independiente del camino", pero sólo por coincidencia. Tal vez en invierno, de repente tardas más en las montañas debido a la nieve, tal vez en primavera, tardas más en correr alrededor del lago, porque hay una inundación.

Escenarios 2 y 3: Estos tampoco son muy interesantes. Ambas podrían aplicarse razonablemente para comparar experimentalmente las fuerzas (la primera más que la segunda) y si las fuerzas son diferentes, no hay razón para esperar que el trabajo sea el mismo en dos trayectorias (una vez más, si son iguales, basta con multiplicar una fuerza por algún factor para que el trabajo vuelva a ser diferente). Desde una perspectiva teórica, por supuesto, basta con echar un vistazo al campo de fuerzas directamente. En cualquier caso, estos no son los escenarios cuando se habla de camino a la independencia .

Para dar un ejemplo, se puede fijar una trayectoria y un objeto, por ejemplo, un plano inclinado de longitud $5m$ y la inclinación $45^\circ$ y dejas que el objeto se deslice por el plano sobre diferentes superficies (lo que crea diferentes fuerzas). Midiendo la energía cinética en la parte inferior, puedes calcular el trabajo realizado por las fuerzas de fricción. Esto es bonito, pero no tiene nada que ver con camino a la independencia .

Escenario 4 y 5: Tampoco son muy interesantes. Una vez más, no hay razón para esperar que las fuerzas sean las mismas si se mide el trabajo realizado en trayectorias en áreas completamente diferentes del campo de fuerzas. Por ejemplo, se necesita más trabajo para saltar un metro de altura que para caminar un metro horizontalmente si sólo tomamos la gravedad como fuerza y es hacia abajo.

Último escenario: Por último, echamos un vistazo al "verdadero negocio":

• Se fija la fuerza y se consideran diferentes caminos entre los mismos puntos.

En otras palabras: Fijo una fuerza (por ejemplo, la gravedad), fijo un punto de partida (por ejemplo, mi sótano) y un punto final (por ejemplo, mi salón) y ahora pregunto qué trabajo hay que hacer para llevar algún objeto (por ejemplo, un sofá) desde el punto de partida hasta el punto final. La pregunta es: ¿Este trabajo depende de la trayectoria? ¿Sería mejor ir por el camino directo subiendo las escaleras y llegando a la sala de estar, o importa si se toma el desvío y se pasa por mi dormitorio en el segundo piso? Si no importa, esto se llama camino a la independencia . Como siempre considero el mismo campo de fuerzas, no puedo simplemente multiplicar una de las fuerzas por un factor para conseguir que el trabajo deje de ser el mismo. A priori, no hay ninguna razón para esperar que el trabajo realizado sea independiente de la trayectoria que tomo, ¡pero resulta que a menudo es así!

Este es el caso si la fuerza es convertiva o en otras palabras, si existe un potencial definido en todas partes y cuyo gradiente es la fuerza. Este es el caso de la gravedad de Newton o del electromagnetismo (en su mayoría). Sin embargo, generalmente no el caso de las fuerzas de fricción.

La razón por la que ciertas fuerzas son independientes de la trayectoria proviene de la teorema fundamental del cálculo : Si existe un potencial, integrar a lo largo de una trayectoria es lo mismo que tomar la diferencia del potencial en los puntos finales.

Answer 2

El teorema trabajo-energía establece que el total El trabajo realizado sobre una partícula es igual al cambio de energía cinética.

Usted están haciendo la misma cantidad de trabajo en ambos casos, pero la gravedad está haciendo un trabajo diferente, en el primer caso la gravedad está haciendo un trabajo $-mgl$ donde $l$ es la distancia recorrida (10 m), pero en el último caso la gravedad realiza un trabajo $-mgl\cos\theta$ donde $\theta$ es el ángulo de su movimiento diagonal, que tiene una magnitud menor que en el primer caso.

Por lo tanto, el trabajo total sobre la partícula, $Fl-mgl$ es menor en el primer caso que en el segundo y, por lo tanto, en el segundo caso la partícula tendrá una energía cinética mayor que corresponde en una cantidad igual a la diferencia de la energía potencial de los dos casos.

Answer 3

Sabemos que $a=v\frac{dv}{ds}$ y $a \cdot ds=v \cdot dv$ . Ahora definimos el trabajo neto como el cambio en el K.E., es decir $\frac{1}{2}mv^2$ donde podemos obtener

$\int_{x_i}^{x_f} a \cdot ds = \frac{v^2}{2}$ $\Rightarrow ma \cdot ds=\frac{1}{2}mv.dv$

Por lo tanto, el trabajo de cualquier fuerza es la integral de la propia fuerza y el desplazamiento de ese objeto en el marco especificado

Y como las fuerzas siguen una superposición, el trabajo neto de la fuerza es el cambio de energía cinética de una masa puntual, este concepto puede extenderse a los cuerpos rígidos para incluir la rotación

Nota- $a \cdot ds$ tiene el significado literal de producto punto vectorial, donde $a \cdot b = |a||b|\cos(\theta)$ donde $\theta$ es el ángulo entre vectores.