Deje $L(p,q)$ ser la Lente espacio con composite $p$, decir $p=ab$.
¿Cuál es el cíclico cubrir el espacio de $L(p,q)$ inducida desde el cociente grupo homomorphism de $\mathbb{Z}/p$ a $\mathbb{Z}/a$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
jasonjwwilliams
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No estoy seguro exactamente lo que significa "ser inducida a partir de un homomorphism". Pero me lo tomo a significar "el que cubre el espacio correspondiente al núcleo de que homomorphism."
Con esto en mente, me afirmación de que la cubierta es $L(b,q)$. Tenga en cuenta que $\gcd(b,q) \leq \gcd(p,q) $ desde $b\mid p$. Utilizando el hecho de que $\gcd(p,q) = 1$, esto implica $\gcd(b,q) = 1$, así que $L(b,q)$ está bien definido.
Para guardar en la escritura, vamos a $X = S^3$, $Y = L(p,q)$, y $G = \pi_1(Y) = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
Tenga en cuenta que $G$ actúa en $X$ a través de la Cubierta de transformaciones. Además, la acción es propiamente discontinua ("bonito") por lo que el espacial en órbita $X/G$, naturalmente, tiene la estructura de un buen colector.
Ahora, si $\pi:X\rightarrow Y$ denota la proyección, entonces claramente $\pi(g\ast x) = \pi(x)$ cualquier $x\in X$ e $g\in G$, lo $\pi$ desciende a un mapa de $X/G$ a $Y$ y no es demasiado duro para demostrar que este mapa es, en realidad, un diffeomorphism.
Deje $H\subseteq G$ ser el único subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}$. Mediante la restricción de la acción de la $G$ a $X$ a $H$, todavía podemos obtener una "buena" acción de $H$ a $X$, por lo que el cociente $X/H$ es un buen colector. Al igual que en el caso anterior, uno puede mostrar que $X/H\cong L(b,q)$.
Finalmente, existe un natural mapa de $X/H\rightarrow Y$ dado por el envío de $xH$ a $xG$. Dicho de otra manera, para ir de $X$ a $X/H$, hacer un poco de quotienting, y luego ir de $X/H$ a $Y(\cong X/G)$, hacer todo el resto de la quotienting. Por barehands, uno puede demostrar que este mapa $X/H\rightarrow X/G$ es una cubierta. De hecho, la fibra es, naturalmente, $G/H\cong \mathbb{Z}/a\mathbb{Z}.$
