Encuentre el valor más pequeño de $f(x) := \left({1\over9}+{32\over \sin(x)}\right)\left({1\over32}+{9\over \cos(x)}\right)$ en el intervalo $(0,\pi/2)$

Question

Hay una función definida como: $$f(x) := \left({1\over9}+{32\over \sin(x)}\right)\left({1\over32}+{9\over \cos(x)}\right)$$ En el intervalo $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ Encuentra el valor más pequeño (Guarda sólo su valor entero)

He conseguido llegar a esto $${1\over288}+{{2(\sin(x)+\cos(x))+576}\over(\sin(x)+\cos(x))^2-1}$$ ¿Cómo puedo encontrar ahora el valor más pequeño?

Answer 1

Dado que ambos $\cos$ y $\sin $ son positivos en $(o,{\pi\over 2})$ podemos utilizar la desigualdad de Cauchy:

$$ (a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$$

$$\bigg({1\over9}+{32\over \sin(x)}\bigg)\bigg({1\over32}+{9\over \cos(x)}\bigg)\geq \bigg({1\over \sqrt{288}}+{\sqrt{288}\over \sqrt{\sin(x)\cos(x)}}\bigg)^2\geq \bigg({1\over 12\sqrt{2}}+24\bigg)^2$$

Aquí utilizamos $$\sin(x)\cos(x)= {1\over 2}\sin (2x) \leq {1\over 2}$$ con igualdad en $x={\pi \over 4}$ . Así que $$y_{min} = \bigg({1\over 12\sqrt{2}}+24\bigg)^2$$

Answer 2

$$1+\frac{288}{\sin x}$$ es una función decreciente en $\left(0,\dfrac\pi2\right)$ y su simétrico

$$1+\frac{288}{\cos x}$$ está aumentando.

Por lo tanto, el mínimo se produce ar $x=\dfrac\pi4$ .

Answer 3

A continuación te explicamos cómo continuar con tu idea:

Dejemos que $\sin{x}+\cos{x}=t$ .

Entonces, por la desigualdad de Cauchy-Schwartz tenemos $$1<t=\sin{x}+\cos{x}\leq\sqrt{(1^2+1^2)(\sin^2x+\cos^2x)}=\sqrt2,$$ donde la igualdad se produce para $x=\frac{\pi}{4},$ y como $$\left(\frac{t+288}{t^2-1}\right)'=-\frac{t^2+576t+1}{(t^2-1)^2}<0,$$ obtenemos $$ f(x) =\frac{1}{288}+\frac{2(t+288)}{t^2-1} \ge \frac{1}{288}+\frac{2(\sqrt{2}+288)}{2-1} =576 + \frac{1}{288} + 2\sqrt{2}$$ ¡y hemos terminado!