En Hahn-Banach Teorema De

Question

La siguiente es la primera parte de una prueba de Hahn-Banach Teorema (Extensión de funcionales lineales) de Kreyszig del libro de Análisis Funcional:

Yo no undertsand el azul subrayado frase del texto anterior.

Mis preguntas son:

1 - Cómo cada una de las $D(g)$ es un espacio vectorial? Supongamos $x_1, \ x_2 \in D(g)$ entonces $g(x_1) \le p(x_1)$ e $g(x_2) \le p(x_2)$. A continuación, $g(x_1+x_2) = g(x_1)+g(x_2) \le p(x_1)+p(x_2)$ no implica $g(x_1+x_2) \le p(x_1+x_2)$, porque tenemos $p(x_1+x_2)\le p(x_1+x_2)$, por definición. Entonces, ¿Cómo $x_1+x_2 \in D(g)$?! El libro ha considerado $a \ge 0$, lo $g(ax) = ag(x) \ge ap(x)$. Así que el problema es sólo la suma de la desigualdad.

2 - ¿Cómo $\bigcup D(g)$ es un espacio vectorial porque "$C$ es una cadena"? No puedo ver un coonection.

Answer 1

Aunque no se dice explícitamente en la prueba, cada una de las $\mathcal D (g) $ es un subespacio. Y un el aumento de la unión de subespacios es un subespacio (aquí es donde el uso de ese $C $ es una cadena).

En cuanto a tu argumento con $a<0 $, lo intente, por ejemplo, en $X=\mathbb R^2$, $f (x,y)=x+y $, $p (x,y)=|x|+|y|$.

Answer 2

Tome $x,y \in D(k)=\bigcup\limits_{g\in C} D(g)$. A continuación, $x \in D(g_1)$ e $y\in D(g_2)$ para algunos $g_1,g_2 \in C$. Ahora tenga en cuenta que desde $C$ es una cadena debemos tener $g_1\le g_2$ o $g_2\le g_1$. Sin pérdida de generalidad, supongamos $g_1\le g_2$. Entonces, por definición,$D(g_2) \supset D(g_1)$. Por lo tanto $x,y \in D(g_2)$. Ahora desde $g_2 \in E$, tenemos $$x+ay \in D(g_2) \subset D(g), \ \ \ \ k(x+ay)=g_2(x+ay)\le p(x+ay)$$

Answer 3

Como $C$ es una cadena, para cualquier $x_1,x_2\in D(\hat{g})$ existe $g\in C$ tal que $x_1,x_2\in D(g)$ lo $x_1+x_2\in D(g)$. a continuación, puedes llegar a la conclusión.