La convergencia de $\prod (1+ta_n)$ implica la convergencia de $\sum a_n$ e $\sum a_n^2$

Question

Deje $a_n$ ser una secuencia de números reales y supongamos que $\prod _n(1+ta_n)$ converge para dos valores distintos de cero de $t$, decir $t_1, t_2\in \mathbb R\setminus \{0, -1/a_1, \ldots, -1/a_i, \ldots \}$.

Demostrar que $\sum a_n$ e $\sum a_n^2$ converge.

Estoy totalmente atascado en este problema. Yo no uso ninguno de los habituales criterios de convergencia debido a que no hay positividad de la asunción en la $a_n$.

Agradecería algunos consejos.

Answer 1

Por "el producto converge", es decir que converge en $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, de lo contrario la afirmación es falsa, considere la posibilidad de $a_n = \frac{1}{n+2}$ e $t_1 = -1,\, t_2 = -2$. O puede ser que permitió que ese $1 + t a_n = 0$ para un número finito de $n$, y el producto formado por el distinto de cero términos converge en $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Con el punto de vista - que es, por ejemplo, el estándar de interpretación en el análisis complejo, donde infinito productos de holomorphic funciones juegan un papel considerable - no necesitamos excluir los valores de $-1/a_n$.

Una condición necesaria para la convergencia del producto al $t \neq 0$ es que el $a_n \to 0$, por lo que al dejar caer un número finito de términos de la producto - que no afecta ni la convergencia del producto ni de la suma, podemos asumir que $\lvert t_k a_n\rvert \leqslant \varepsilon$ para todos los $n$ e $k \in \{1,2\}$, dado cualquier $\varepsilon \in (0,1)$ que elegimos.

La convergencia del producto $\prod (1 + t a_n)$ es equivalente a la convergencia de la serie

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \log (1 + t a_n).\tag{1}$$

Por nuestros supuestos, la serie

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \bigl[ t_1 \log (1 + t_2 a_n) - t_2 \log (1 + t_1 a_n)\bigr]\tag{2}$$

converge. También, para $\lvert x\rvert \leqslant \varepsilon$, tenemos

$$\sum_{m = 3}^{\infty} \frac{\lvert x\rvert^m}{m} \leqslant \frac{\lvert x\rvert^3}{3}\sum_{m = 0}^{\infty} \lvert x\rvert^m = \frac{\lvert x\rvert^3}{3(1 - \lvert x\rvert)} \leqslant \frac{\varepsilon}{3(1 - \varepsilon)} x^2$$

y por lo tanto

$$x - \biggl(\frac{1}{2} + \frac{\varepsilon}{3(1-\varepsilon)}\biggr) x^2 \leqslant \log (1 + x) \leqslant x - \biggl(\frac{1}{2} - \frac{\varepsilon}{3(1-\varepsilon)}\biggr)x^2.\tag{3}$$

La elección de $\varepsilon$ adecuadamente, $(2)$ e $(3)$ el rendimiento de la convergencia de $\sum a_n^2$,, a continuación, $(1)$ e $(3)$ el rendimiento de la convergencia de $\sum a_n$.