Mostrando que $\frac{x!}{x^{x}}$ tiende a cero cuando x tiende a infinito

Question

La pregunta es bastante mucho en el título, estoy teniendo dificultad formalmente mostrando que $\lim\limits _{x\to\infty}\frac{x!}{x^{x}}=0$ (a pesar de que intuitivamente que es bastante obvio).

Gracias de antemano por su ayuda ;)

Answer 1

Tenemos que

$$n! \leq \frac{n^n}{2^n} \text{ for } n \geq 6$$

así

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} \leq \lim_{n\to \infty} \frac{1}{2^n} = 0.$$

Para $x \in \mathbb{R}$, sabemos que $\Gamma$ función es creciente para las entradas de $\geq 2$, por lo que el límite todavía se conserva (suponga $x > n \geq 6$):

\begin{align} \Gamma(n) &= (n-1)! \\ \Gamma(x) &\leq \Gamma(\lfloor x+1 \rfloor) = \lfloor x \rfloor! \end{align}

así

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\Gamma(x+1)}{x^x} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{\lfloor x+1 \rfloor!}{\lfloor x \rfloor^{\lfloor x \rfloor}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{n^n} \leq \lim_{n\to \infty} \frac{n+1}{2^n} = 0.$$

Espero que esta ayuda ;-)

Edit: Solucionado algunos problemas menores, gracias a @julien para darse cuenta.

Answer 2

Suponemos que usted quiere demostrar que $$\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n}=0,$$ donde $n$ rangos positivos enteros. Por simplicidad vamos a $n$ ser incluso, decir $n=2m$. Entonces $$\frac{(2m)!}{(2m)^{2m}}=\frac{m!}{(2m)^m}\cdot \frac{(m+1)(m+2)\cdots(2m)}{(2m)^m}.$$ Tenga en cuenta que $\dfrac{m!}{(2m)^m}\le \dfrac{m^m}{(2m)^m}=\dfrac{1}{2^m}$.

También, $\dfrac{(m+1)(m+2)\cdots(2m)}{(2m)^m}\le 1$.

De ello se desprende que $\dfrac{(2m)!}{(2m)^{2m}}\le \dfrac{1}{2^m}$.

Una pequeña modificación se ocupa de los números enteros impares. Hay una gran cantidad de holgura.

Answer 3

Así tenemos $$ \frac{x!}{x^x}=\frac{\Gamma(x+1)}{e^{x\ln x}} \qquad \forall x>0. $$

Desde $\Gamma(x+1)$ e $x\ln x$ están aumentando en $[1,+\infty)$, para $n_x=\lfloor x\rfloor$, tenemos $$ 0\leq \frac{\Gamma(x+1)}{e^{x\ln x}}\leq \frac{\Gamma(n_x+2)}{e^{n_x\ln n_x}}=\frac{(n_x+1)!}{n_x^{n_x}}. $$

Ahora observe que el $\lim n_x=+\infty$ as $x$ tiende a $+\infty$. Por lo que es suficiente para mostrar que $$ \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{(n+1)!}{n^n}=0. $$

Una manera (no el mejor...) para hacerlo es considerar la serie $$ \sum_{n\geq 1} a_n=\sum_{n\geq 1}\frac{(n+1)!}{n^n}. $$ Desde $$ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+2}{n+1}\left( 1-\frac{1}{n}\right)^n\longrightarrow e^{-1}<1, $$ la prueba de razón nos dice que la serie converge. Así que el término general tiende a $0$, que es lo que queremos.

Answer 4

Es fácil ver que: $$ (n!)^2 = (1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n) \cdot (n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 1) $$ Si sustituimos todas las $n$ factores $n (n -k)$ en su valor máximo (lo que ocurre en $k^* = \frac{n}{2}$, con un valor de $\frac{n^2}{2^2}$) tenemos: $$ \begin{align*} (n!)^2 &\le \frac{n^{2n}}{2^{2 n}} \\ n! &\le \left( \frac{n}{2} \right)^n \end{align*} $$ Por lo tanto: $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{n^n} \le \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^n}{2^n n^n} = 0 $$ Incluso más fácil ist sólo para uso de la aproximación de Stirling, pero thet crudo obligado es suficiente.