Dado un general de la parábola en forma paramétrica $$\big(at^2+bt, ct^2+dt\big)$$ ¿cuáles son las ecuaciones de los ejes de simetría, así como la tangente en el vértice?
Utilizando el estándar, sino más bien tedioso algebraica de expansión, la siguiente información puede ser funcionado:
Forma cartesiana:
(eliminando $t$) $$(ax-cy)^2=(bc-ad)(dy-bx)$$Eje de simetría:
(el uso de la solución aquí) $$ax-cy+\frac {(ab+cd)(bc-ad)}{2(a^2+c^2)}=0$$La tangente en el vértice:
(por primera derivada de vértices de coordenadas de intersección entre el eje de simetría y la parábola, y formando entonces la ecuación de la línea a través de él con la pendiente perpendicular al eje de simetría). $$cx+ay-\frac {(ab+cd)^2}{4(a^2+c^2)}=0$$Desmo aplicación aquí.
Sin embargo sería interesante ver si hay otros métodos para llegar a estos resultados de forma rápida y elegante, tal vez mediante el uso de un vector o una matriz de métodos. Cualquier otra información clave, geométricas o de otro tipo, que puede ser derivado de la forma final también sería muy útil. Los términos muy similares a los productos de puntos de vectores así como la matriz de determinantes.
Respuestas
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Definir los puntos de $P$ e $Q$ a $t=p$ e $t=q$. Invocando el cálculo, se sabe que los vectores de tangentes en $P$ e $Q$ son $$P^\prime=(2ap+b,2cp+d) \qquad Q^\prime = (2aq+b,2cq+d)$$ Ahora, supongamos $P^\prime$ e $Q^\prime$ son ortogonales. Entonces $$0 = P^\prime \cdot Q^\prime = b^2 + d^2 + 2 (p+q)( a b + c d ) + 4 (a^2+c^2) p q$$ así que $$q = -\frac{b^2 + d^2 + 2 p(a b +cd)}{2 ( a b + cd + 2p( a^2 + c^2))}$$ a menos que el denominador es cero. Es decir, si $$p = -\frac{ab+cd}{2(a^2+c^2)} \tag{$\estrella de$}$$ entonces no hay ningún vector de $Q^\prime$ ortogonal a $P^\prime$. (Haciendo caso omiso de las posibles degeneraciones en los parámetros $a$, $b$, $c$, $d$,) Esto sólo puede suceder si $P$ es el vértice.
Así, sustituyendo $p$ de $(\star)$ a $P$ e $P^\prime$ da el vértice y la tangente-vector-en-el vértice de la parábola. Las ecuaciones para el eje de simetría y de la tangente de la línea son fáciles de derivarse de dicha información. La limpieza es un poco tedioso, pero el trabajo está completo. $\square$
Dado $$ \left\{ \matriz{ x = a^{\,2} + bt \hfill \cr x' = 2at + b \hfill \cr y = ct^{\,2} + dt \hfill \cr y' = 2ct + d \hfill \cr} \right. $$
a continuación, la inclinación del eje será dado por el límite, en nuestro caso, el $t \to \infty$, de la relación de $y/x$ $$ y - y_v = m\left( {x - x_v } \right)\;:\quad m = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {y \sobre x} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {{y'} \over {x'}} = {c \a través de una} $$
En el vértice, la inclinación de la tangente será normal al eje, es decir, $$ {{y'(t_v )} \over {x'(t_v )}} = - {1 \over m} = - {un \sobre c} $$
a partir de la cual se encuentra el valor de $t=t_v$ para el parámetro en el vértice $$ \eqalign{ & 2c^2 t_v + cd = - 2a^2 t_v - ab \cr & t_v = {{ - ab - cd} \over {2\left( {a^2 + c^2 } \right)}} \cr} $$
Entonces, para determinar la apertura del diafragma, y dependiendo de los objetivos de su estudio, puede
- calcular el radio de curvatura, lo que para una curva paramétrica es
$$
R = \left| {{{\left( {x^2 + y'^2 } \right)^{3/2} } \over {x y" - x"y"}}} \right|
$$
y que, en nuestro caso, $t=t_v$ se convierte en
$$
R_{\,v} = {{\left( { - ad + bc} \right)^2 } \over {2\left( {a^2 + c^2 } \right)^{3/2} }}
$$
- o simplemente tomar otro punto en un $t \ne t_v$
luego de tener todos los datos para construir la normal de la ecuación de la parábola.
