Los subespacios "cerrados" de las estructuras algebraicas topológicas.

Question

Cada conjunto teórico modelo de una teoría algebraica da lugar a la noción de (algebraicamente) "subconjunto cerrado" en un canónica de la moda; a saber, el cierre de los subconjuntos de los que no se puede escapar a través de las operaciones del álgebra. También hay un cierre correspondiente operador. Ahora es un principio central de la categorial de la lógica, que podemos considerar que los modelos de teorías algebraicas en una amplia gama de categorías. Hacer estos modelos también dar lugar a (algebraicamente) "cerrado subobjetos" y una de cierre correspondiente operador?

Si es así, estoy especialmente interesado en la siguiente pregunta. Son los (algebraicamente) cerrado los subespacios de una expresión algebraica de la estructura interna de a $\mathrm{Top}$ precisamente los subespacios que no sólo son ineludibles a través de las operaciones, pero también, topológicamente cerrado?

Answer 1

En resumen, la respuesta es no: no existen subgrupos de topológicos, grupos que no están cerrados como subespacios. Deje $\hat{\mathbb{Z}}$ ser el profinite finalización de $\mathbb{Z}$, es decir $\hat{\mathbb{Z}} = \varprojlim_{n} \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$. A continuación, $\hat{\mathbb{Z}}$ es un compacto Hausdorff topológico grupo (por el teorema de Tychonoff, digamos) y la canónica homomorphism $\mathbb{Z} \to \hat{\mathbb{Z}}$ es inyectiva, pero su imagen (que no es discreta) no es un subgrupo cerrado de $\hat{\mathbb{Z}}$. (Cerrado los subgrupos de $\hat{\mathbb{Z}}$ son profinite, pero no hay manera de hacer $\mathbb{Z}$ en un profinite grupo).