Mostrar$\int_{-\infty}^{\infty}\,f(u,t)dG(u)$ es un ch.f. donde$G$ es un df; $f(u,\cdot)$ es un ch.f. y$f(\cdot,t)$ es continuo.

Question

Mostrar $$\int_{-\infty}^{\infty}\,f(u,t)dG(u)$$ is a ch.f. where $G$ es un d.f. ; y $f(u,\cdot)$ es un ch.f. para cada una de las $u$ e $f(\cdot,t)$es continua para cada una de las $t$.

Tenga en cuenta que ch.f. significa "la característica de la función" y d.f. significa "función de distribución". Es un ejercicio de Kai Lai Chung de la teoría de la probabilidad del libro.

Mi idea es que: en el caso especial $G$ es discreto, el problema se reduce a lo siguiente problema fácil:

Si $f_n$ son ch.f.'s y $\alpha_n \ge 0$, $\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n=1$, luego
$$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_nf_n$$ es un ch.f.

Creo que el punto crucial es cómo utilizar"$f(\cdot,t)$ es continua para cada una de las $t$"

Answer 1

Para cada una de las $u$ considera la variable aleatoria $X_u: \Omega_u\to \Bbb{R} $ aquí $\Omega_u= \Bbb{R}$, pero consideramos que es dotado con la probabilidad de $\mu_u$ asociado con la característica de la función $f(u,\cdot)$. La probabilidad de que el espacio es $(\Bbb{R}, \mathbb{B}, \mu_u)$

Se extienden de este a $(\mathbb{R}^{(-\infty,\infty)}, \mathcal{B}(\mathbb{R})^{\otimes (-\infty,\infty)}, \mu^{\otimes (-\infty,\infty)})$ (uso de kolmogorov extensión de los intervalos )

Ahora tenemos $\tilde{X}_u: \mathbb{R}^{(-\infty,\infty)} \to \Bbb{R}$ $\tilde{X}_u(\tilde{\omega}) = X_u(\tilde{\omega}(u))$con la ley dada por $\mu_u$. (la notación $\tilde{\omega} \in \mathbb{R}^{(-\infty,\infty)}$, $\tilde{\omega}: \Bbb{R} \to \Bbb{R}$) Deje $Y$ ser una variable aleatoria con función de densidad dada por $G$ y con la ley de $\nu$

Extender una vez más su espacio de $(\mathbb{R}^{(-\infty,\infty)}\times \Bbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})^{\otimes (-\infty,\infty)}\otimes \Bbb{R}, \mu^{\otimes (-\infty,\infty)}\otimes \nu)$ (la notación $\hat{\omega} \in \mathbb{R}^{(-\infty,\infty)}\otimes \Bbb{R}$, $\tilde{\omega}: \Bbb{R} \cup \{\Delta\} \to \Bbb{R}$)

$\hat{X}_u: \mathbb{R}^{(-\infty,\infty)}\times \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ $\hat{X}_u(\hat{\omega}) = X_u(\tilde{\omega}(u))$ con la ley dada por $\mu_u$.

$\hat{Y}: \mathbb{R}^{(-\infty,\infty)}\times \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ $\hat{Y}(\hat{\omega}) = Y(\tilde{\omega}(\Delta))$ con la ley dada por $\nu_u$.

Definir $Z:\mathbb{R}^{(-\infty,\infty)}\times \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ por $Z(\hat{\omega}) = X_{Y(\hat{\omega}(\Delta))}(\hat{\omega})$

Ahora calculamos

\begin{align*} \Bbb{E}[e^{itZ}] &= \int_{\Bbb{R}^{(-\infty,\infty)}\times \Bbb{R}} e^{it Z(\hat{\omega})}\, d\mu^{\otimes (-\infty,\infty)}\otimes \nu \\ &= \int_{\Bbb{R}}\int_{\Bbb{R}^{(-\infty,\infty)}} e^{it X_{Y(\hat{\omega}(\Delta))}(\hat{\omega})}\, d\mu^{\otimes (-\infty,\infty)}(\tilde{\omega}) \,d \nu(\hat{\omega}(\Delta))\\ &= \int_{\Bbb{R}} \Bbb{E}\bigg[ e^{it X_{Y(\hat{\omega}(\Delta))}(\hat{\omega})}\bigg]\, d\mu^{\otimes (-\infty,\infty)}(\tilde{\omega}) \,d \nu(\hat{\omega}(\Delta))\\ &= \int_{\Bbb{R}} f(\hat{\omega}(\Delta),t) \,d \nu(\hat{\omega}(\Delta))\\ &= \int_{\Bbb{R}} f(u,t) \,d G(u)\\ \end{align*}

que es una función característica.

comentario: yo no uso la continuidad de $f(u,t)$. No estoy seguro de que esto es necesario.