Deje $G$ ser un grupo finito y $H$ a un subgrupo. Definir una relación en $G$ por $$a\sim b\iff b^{-1}a \in H.$$
(0.) Demostrar que esta es una relación de equivalencia.
(i) Demostrar que para que esta relación se $$[a] = \{ah: h\in H\}.$$
(ii) Demostrar que la cardinalidad $[a]$ es igual a la cardinalidad de $|H|$.
(iii) a la Conclusión de que $|H|$ divide $|G|$.
Los Intentos/Ideas:
(0): $a\sim a$ debido a $a^{-1}a\in H$, ya que el $e$ es de $H$.
$b\sim a$ : Mostrar $a^{-1}b = b^{-1}a$
$a\sim b$ e $b \sim c$ implican $a\sim c$ : Mostrar $(c^{-1}b)(b^{-1}a)\in H$.
(i) no estoy seguro de por dónde empezar aquí, excepto tal vez con una idea de (0.).
(ii) ¿Cómo mostrar 1-1 de la correspondencia, si que debería funcionar.
(iv.) El uso de particiones de $G$ decir que $H$ divide $G$.
Thx!
Respuestas y ayuda se agradece!
