Medibilidad de funciones con valores en espacios de Banach

Question

La función $f:M\subset \mathbb{R}^n\to Y$ con valores en el espacio de Banach se llama medible si se cumple lo siguiente

1) El dominio es medible

2) Existe una secuencia $(f_j)$ de las funciones de paso $f_j :M\to Y$ tal que $$\lim_{j\to\infty}f_j(x)=f(x)$$ para casi todos los $x\in X$ .

Propuesta $\,$ $f$ es medible si se cumple lo siguiente:

1) $M$ es medible y $Y$ es un espacio de Banach separable

2) $f$ es continua en casi todas partes

¿Cuál es la prueba de este hecho? Hay que construir una secuencia de funciones escalonadas. Para ello, la separabilidad sería útil, supongo. Si $Y$ es separable podemos tomar los valores necesarios para las funciones de paso del subconjunto denso y contable de $Y$ . Cómo definir $M_i$ ? La primera idea que me vino a la mente es: si $a_i$ es un valor del subconjunto denso y contable de $Y$ por qué no establecer $M_i=f^{-1}(a_i)$ ?

Answer 1

Dejemos que $E$ sea el conjunto de discontinuidades de $f$ . Desde $M\setminus E$ es medible, existe una secuencia de conjuntos compactos $K_j$ tal que $$ M\setminus E = N\cup \bigcup_{j=1}^\infty K_j $$ donde $N$ tiene medida cero.

Arreglar $j$ . Portada $K_j$ por conjuntos abiertos $U_{k}$ tal que $\operatorname{diam} f(U_{k})<1/j$ por cada $k$ Esto es posible ya que $f$ es continua en $K_j$ . Por compacidad, sólo necesitamos un número finito de conjuntos de este tipo. Escoja $y_{k}\in f(U_k)$ y definir $$ f_j = y_1\chi_{U_1} +y_2\chi_{U_2\setminus U_1} + y_3\chi_{U_3\setminus U_2\setminus U_1} + \cdots $$ También deja que $f_j=0$ en $M\setminus K_j$ . Observe que $f_j$ es una función escalonada y que $|f-f_j|<1/j$ en $K_j$ .

Para cada punto $x\in \bigcup_{j=1}^\infty K_j$ tenemos $f_j(x)\to f(x)$ por la construcción. El resto de $M$ tiene medida cero. $\quad\Box$

No necesitaba la separabilidad de $Y$ .