Equivalencia entre $\textbf{2Cat}$ y $\textbf{2Cat}_{psd}$

Question

¿Existe una equivalencia entre la categoría $\textbf{2Cat}$ de 2-categorías y 2-funtores y la categoría $\textbf{2Cat}_{psd}$ de 2-categorías y pseudofuntores?

Answer 1

Estas categorías no son equivalentes, porque $\mathbf{2Cat}$ tiene todos los límites, mientras que $\mathbf{2Cat}_{psd}$ no los tiene. El problema es, básicamente, que los límites tendrían que coincidir con los de $\mathbf{2Cat}$, pero los igualadores estrictos de pseudofuntores no están generalmente cerrados bajo composición.

Por ejemplo, sea $[2]$ la categoría $0\stackrel{a}{\to} 1\stackrel{b}{\to} 2$, vista como una 2-categoría, y sea $C$ la 2-categoría generada por los morfismos $f:0\to 1,g:1\to 2, h:0\to 2$, y un isomorfismo $\alpha: g\circ f\cong h$. Entonces hay dos pseudofuntores identidad-en-objetos $F,G:[2]\to C$ que conservan estrictamente identidad 1-morfismos, enviando $a$ a $f$ y $g$ a $b$: $F$ envía $b\circ a$ a $g\circ f$ mientras que $G(b\circ a)=h. Ahora $F$ y $G$ son un ejemplo de un par de pseudofuntores que no admiten un igualador, esencialmente porque $F$ y $G$ coinciden en $b$ y en $a$ pero no en $b\circ a$.

De hecho, supongamos que hubiera tal igualador $e:E\to C$. Entonces por la propiedad universal, denotando por $[0]$ la categoría de un punto y por $[1]$ la categoría generada por una sola flecha no identidad, tendríamos $$\mathbf{2Cat}_{psd}([0],e)\cong \mathrm{eq}\left(F_*,G_*:\mathbf{2Cat}_{psd}([0],[2])\to \mathbf{2Cat}_{psd}([0],C\right)=\{0,1,2\}$$ y $$\mathbf{2Cat}_{psd}([1],e)\cong \mathrm{eq}\left(F_*,G_*:\mathbf{2Cat}_{psd}([1],[2])\to \mathbf{2Cat}_{psd}([1],C\right)=\{\mathrm{id}_0,\mathrm{id}_1,\mathrm{id}_2,a,b\}$$ donde los igualadores a la derecha se calculan en $\mathbf{Set}$. Pero esto es absurdo: Si $E$ fuera una 2-categoría, contendría un mapeo compuesto $0\to 2$, pero $b\circ a$ no es igualado por $F$ y $G$.

Esto es parte de una historia más grande. Como se mencionó en los comentarios, es mucho más natural preguntar si las 2- o 3-categorías $\mathbf{2Cat}$ y $\mathbf{2Cat}_{psd}$ son equivalentes. Si tomamos las 2-categorías en las que los 2-morfismos son las transformaciones 2-naturales estrictas, entonces la inclusión $\mathbf{2Cat}\to \mathbf{2Cat}_{psd}$ admite un 2-funtor izquierdo adjunto: para cada 2-categoría $K$, existe una 2-categoría $K'$ junto con un 2-funtor estricto $K'\to K$ que es una equivalencia en $\mathbf{2Cat}_{psd}$ pero no, generalmente, en $\mathbf{2Cat}$, de modo que los pseudofuntores de $K'$ se identifican naturalmente con 2-funtores de $K$. Pero esta adjunción 2 no es una equivalencia, y de hecho el mismo argumento que arriba, usando límites estrictos de 2-dimensiones, muestra que las 2-categorías $\mathbf{2Cat}$ y $\mathbf{2Cat}_{psd}$ no pueden ser equivalentes. (En caso de que te lo estés preguntando, pasar a 3-categorías no ayudará. Existen muchas 2-categorías no triviales $K$ tales que no existen 2-funtores no constantes $K\to K'$, porque $K'$ no contiene 1-morfismos estrictamente invertibles que no sean las identidades.)

En general, este tipo de pregunta se estudia a fondo en la álgebra universal 2-categórica, específicamente, el estudio de 2-monedas y las diversas variedades de morfismos entre sus álgebras. Tu pregunta específica casi es respondida por el teorema de coherencia de Mac Lane, que afirma que cada categoría monoidal es equivalente a una categoría monoidal estricta; la construcción de $K'$ en el párrafo anterior es esencialmente la misma que la de Mac Lane. El marco general, sin embargo, se debe al documento de Blackwell, Kelly y Power "Two-Dimensional Monad Theory." Un enfoque amigable a todo esto, y mucho más, se encuentra en el "A 2-Categories Companion" de Steve Lack.