Artin-Wedderburn descomposición de un anillo de grupo particular

Question

Estoy tratando de hacer una pregunta de un álgebra de examen de calificación:

Descomponer el anillo de grupo $\mathbb{F}_5[S_3]$ como producto de la simple anillos.

Por el teorema de Maschke desde $\mathrm{char}(\mathbb{F}_5) \nmid |S_3|$ (es decir,$5\nmid 6$) sabemos $\mathbb{F}_5[S_3]$ es semisimple por el Artin-teorema de Wedderburn y el hecho de que el anillo de grupo es finito tenemos $\mathbb{F}_5[S_3]=\Pi_i M_{n_i}(K_i)$ para algunos campos de $K_i$ contiene $\mathbb{F}_5$.

Ahora $|\mathbb{F}_5[S_3]|=5^6$ e $\mathbb{F}_5[S_3]$ es no conmutativa así que debe tener al menos un $n_i\geq 2$ y sólo podemos tener $M_2(\mathbb{F}_5)$. Por lo $\mathbb{F}_5[S_3]$ es isomorfo a $\mathbb{F}_5\times\mathbb{F}_5\times M_2(\mathbb{F}_5)$ o $\mathbb{F}_{25}\times M_2(\mathbb{F}_5)$.

Pero aquí estoy atascado. ¿Cómo puedo saber cuál es la correcta? He pensado que quizás el uso de unidades (se puede calcular cuántas unidades hay en cada uno de los productos más arriba), pero no sé a encontrar todas las unidades de $\mathbb{F}_5[S_3]$. Alguna idea?

Answer 1

Aquí está mi intento de responder mi propia pregunta basada en las sugerencias.

Dejar $x=\sum_{g\in S_3} g$. Entonces$yx=x$ y$xy=x$ para todos$y\in S_3$ así que$\mathbb{F}_5\cdot x=\{0,x,2x,3x,4x\}$ es un ideal de 2 caras (los elementos de$\mathbb{F}_5[S_3]$ son sumas de$y$ 's, así que solo actúa como una suma de identidades).

Pero los ideales de$\mathbb{F}_5[S_3]$ son$\mathbb{F}_5[S_3]$ - submódulos de$\mathbb{F}_5[S_3]$. Entonces$\mathbb{F}_5[S_3]$ es semisimple, por lo que cada submódulo es un sumando directo, por lo que existe un término en el producto isomorfo a$\mathbb{F}_5$.

Así que de las opciones anteriores solo tenemos$\mathbb{F}_5\times \mathbb{F}_5 \times M_2(\mathbb{F}_5)$.